Calcolare la derivata di una funzione integrale

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Calcolare la derivata di una funzione integrale #4689

avt
giacomo22
Cerchio
Ciao ragazzi. Mi servirebbe aiuto per capire come calcolare la derivata di due funzioni integrali, queste qui:

G(x)=cos(x) \int_{4}^{x} e^{-t^2} ,dt

H(x)=cos(x) \int_{4}^{6x} e^{t^2} ,dt

Potete darmi una mano? emt
 
 

Calcolare la derivata di una funzione integrale #4706

avt
Ifrit
Amministratore
Teorema fondamentale del calcolo integrale, quanto è figo!

G'(x)=-\sin(x)\int_4^x e^{-t^2}dt+ \cos(x) e^{-x^2}

dove in particolare ho utilizzato la legge di derivazione per il prodotto di funzioni. Non puòi fare altro. L'integrale che appare nella derivata prima è irrisolvibile con i mezzi canonici (non sto dicendo che non esiste, eh! emt )

H'(x)= -\sin(x)\int_4^{6x} e^{t^2}dt +6 \cos(x)e^{(6x)^2}
Ringraziano: Omega, frank094, giacomo22, CarFaby, Matildez, pigrego

Calcolare la derivata di una funzione integrale #4772

avt
giacomo22
Cerchio
Nell'applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, quale regola viene applicata per gli estremi di integrazione, ad esempio così come hai fatto in questo caso con 4 e 6x?

Calcolare la derivata di una funzione integrale #4785

avt
Ifrit
Amministratore
Il teorema fondamentale del calcolo integrale ci dice che se abbiamo una funzione f continua in [a, b] allora:

F(x)=\int_a^xf(t)dx una funzione derivabile in [a, b] e inoltre:

F'(x)= f(x)\quad\forall x\in [a, b]

Nel caso in cui avessimo un estremo di integrazione diverso da x, ad esempio:

F(x)=\int_a^{g(x)} f(t)dt

dove g è una funzione derivabile in [a, b], possiamo vedere F come una funzione composta, cioè del tipo:

F(x)=\Phi(g(x))-\Phi(a),

dove \Phi è una primitiva della funzione f, cioè è tale che:

\Phi'(x)=f(x)\quad\forall x\in [\alpha, \beta].

Per le regole di derivazione delle funzioni composte avremmo che:

F'(x)= D[\Phi(g(x))-\Phi(a)]= D[\Phi(g(x))]= f(g(x)) g'(x)

quindi la derivata prima della funzione integrale è uguale alla funzione integranda composta con la funzione "estremo" per la derivata della funzione "estremo"

Seguendo questa legge avremo che:

D\left[\int_4^{6x} e^{t^2}dt\right]= e^{(6x)^2}\cdot D[6x]= 6e^{36x^2}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, giacomo22, CarFaby, Ilia

Calcolare la derivata di una funzione integrale #4900

avt
giacomo22
Cerchio
Grazie a te finalmente ho capito questo concetto che più di una volta si è presentato minaccioso nella risoluzioni di alcuni esercizi.
Ringraziano: frapriore, martinaccatino
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Os