Integrale improprio con parametro variabile da stabilire
Ciao a tutti, ho un integrale improprio di cui devo studiare la convergenza al variare di un parametro
chiede di stabilire per quali valori del parametro 
esiste finito l'integrale qui sopra.
È la prima volta che mi capita un esercizio del genere, volevo provare a sostituire qualcosa ma non sapendo cosa sia alfa non riesco. Non posso nemmeno stabilire il grado del denominatore.
Ho pensato che indipendentemente dall'integrazione potremmo avere ancora a che fare con 
, ero portato a dire quindi "per ogni 
per ottenere un infinitesimo ma dubito fortemente che si possa risolvere a parole. XD
Mettere un esercizio simile con queste poche considerazioni fa sembrare che me ne stia approfittando, in tal caso se preferite datemi solo un indizio su cui lavorare 
non so proprio da dove partire. Grazie, ciao!
Ok, dobbiamo controllare la convergenza dell'integrale:
che presenta problemi sia in 0 che in 
. Con questi esercizi devi utilizzare il criterio asintotico per la convergenza degli integrali.
Negli intorni di 
valgono le stime asintotiche:
quindi il numeratore è asintotico a 
:
Il denominatore invece:
La funzione integranda è di conseguenza asintotica a:
Dalla teoria, sappiamo che l'integrale 
converge se e solo se l'esponente è minore di 1, quindi
converge se 
Il primo problema è andato, 
è la condizione di convergenza negli intorni di 0.
All'infinito invece:
mentre il denominatore:
Possiamo asserire che:
Dalla teoria sappiamo che gli integrali del tipo:
convergono se e solo se l'esponente è maggiore di uno, 
.
conseguentemente:
converge se 
Abbiamo ottenuto due condizioni, una per la convergenza negli intorni di zero, l'altra negli intorni di infinito, mettendole assieme, otterremo i valori di in cui l'integrale di partenza è convergente:
Se hai dubbi chiedi 
Mmmm una soluzione stregonesca!
C'è solo una cosa che non ho capito ... "SOLO" .... Le stime asintotiche che hai fatto all'inizio di ognuna delle due fasi :( uffi sei uno stregone ammettilo! Rivelami il tuo magico segreto
Le stime asintotiche in 0 sono parenti strettissimi dello sviluppo di Taylor
All'infinito invece ho ragionato in questo modo.
(banalmente)
mentre:
(trascuro 1 perché non è un infinito)
quindi per il denominatore vale:
Per il numeratore invece:
perché 
è una funzione limitata quindi trascurabile perché sommata dall'infinito 
E' fondamentale quindi conoscere per bene l'argomento "confronto tra infiniti"
Il mio segreto? Dopo un anno e mezzo di youmath in cui io ed Omega ci siamo trovati senza esagerare almeno 2000 esercizi in cui intervengono le stime asintotiche (vedi limiti, integrali impropri, serie numeriche, Taylor) ormai credo siano diventati il mio pane quotidiano 
La parola chiave è l'esercizio! (e conoscere almeno le stime asintotiche più importanti... e Taylor! )
Orbene
Iniziamo con il numeratore. Abbiamo detto che:
Per ottenere questo risultato, devi utilizzare lo sviluppo asintotico notevole del seno. Poiché
allora sostituendo a t avremo appunto:
La differenza
E' fondamentale notare che se ci fossimo fermati al primo ordine nello sviluppo del seno non avremmo ottenuto una stima asintotica "significativa".
Veniamo al denominatore:
il termine 
non viene preso in considerazione perché non è un infinitesimo
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