Integrale improprio con parametro variabile da stabilire

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Integrale improprio con parametro variabile da stabilire #46651

avt
Satiro
Frattale
Ciao a tutti, ho un integrale improprio di cui devo studiare la convergenza al variare di un parametro

\int_{0}^{+\infty}{\frac{x^3-\sin(x^3)}{x^{\alpha}(x^4+1)}dx}

chiede di stabilire per quali valori del parametro \alpha esiste finito l'integrale qui sopra.

È la prima volta che mi capita un esercizio del genere, volevo provare a sostituire qualcosa ma non sapendo cosa sia alfa non riesco. Non posso nemmeno stabilire il grado del denominatore.

Ho pensato che indipendentemente dall'integrazione potremmo avere ancora a che fare con x^\alpha, ero portato a dire quindi "per ogni alpha<0 per ottenere un infinitesimo ma dubito fortemente che si possa risolvere a parole. XD

Mettere un esercizio simile con queste poche considerazioni fa sembrare che me ne stia approfittando, in tal caso se preferite datemi solo un indizio su cui lavorare emt non so proprio da dove partire. Grazie, ciao!
 
 

Re: Integrale improprio con parametro variabile da stabilire #46658

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Satiro, c'era un problema con le parentesi, controlla se ho interpretato correttamente emt

Re: Integrale improprio con parametro variabile da stabilire #46661

avt
Satiro
Frattale
A parte il sen(x^3) è tutto ok emt

Re: Integrale improprio con parametro variabile da stabilire #46667

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, dobbiamo controllare la convergenza dell'integrale:

\int_{0}^{\infty}\frac{x^3-\sin(x^3)}{x^{\alpha}(x^4+1)}dx

che presenta problemi sia in 0 che in +\infty. Con questi esercizi devi utilizzare il criterio asintotico per la convergenza degli integrali.

Negli intorni di 0 valgono le stime asintotiche:

\sin(x^3)= x^3-\frac{x^9}{6}+o(x^9)

quindi il numeratore è asintotico a \frac{x^9}{6}:

x^3-\sin(x^3)\sim_{x\to 0}\frac{x^9}{6}

Il denominatore invece:

x^{\alpha}(x^4+1)\sim_{x\to 0} x^{\alpha}

La funzione integranda è di conseguenza asintotica a:

\frac{x^3-\sin(x^3)}{x^{\alpha}(x^4+1)}\sim_{x\to 0}\frac{1}{6x^{\alpha-9}}

Dalla teoria, sappiamo che l'integrale \int_{0}^{a>0}\frac{1}{x^{\beta}}dx converge se e solo se l'esponente è minore di 1, quindi

\int_{0}^{a>0}\frac{1}{6x^{\alpha-9}}dx

converge se \alpha-9<1\implies \alpha<10

Il primo problema è andato, \alpha<10 è la condizione di convergenza negli intorni di 0.

All'infinito invece:

x^3-\sin(x^3)\sim_{x\to \infty}x^3

mentre il denominatore:

x^{\alpha}(x^4+1)\sim_{x\to \infty}x^{4+\alpha}

Possiamo asserire che:

\frac{x^3-\sin(x^3)}{x^{\alpha}(x^4+1)}\sim_{x\to \infty}\frac{x^3}{x^{\alpha+4}}= \frac{1}{x^{\alpha+1}}


Dalla teoria sappiamo che gli integrali del tipo:

\int_{a>0}^{\infty} \frac{1}{x^{\beta}}dx

convergono se e solo se l'esponente è maggiore di uno, \beta>1.

conseguentemente:

\int_{a>0}^{\infty}\frac{1}{x^{\alpha+1}}dx

converge se \alpha+1>1\implies \alpha>0

Abbiamo ottenuto due condizioni, una per la convergenza negli intorni di zero, l'altra negli intorni di infinito, mettendole assieme, otterremo i valori di \alpha in cui l'integrale di partenza è convergente:

0<\alpha<10

Se hai dubbi chiedi emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Mark_Knopfler

Re: Integrale improprio con parametro variabile da stabilire #46674

avt
Satiro
Frattale
Mmmm una soluzione stregonesca!

C'è solo una cosa che non ho capito ... "SOLO" .... Le stime asintotiche che hai fatto all'inizio di ognuna delle due fasi :( uffi sei uno stregone ammettilo! Rivelami il tuo magico segreto emt

Re: Integrale improprio con parametro variabile da stabilire #46675

avt
Ifrit
Amministratore
Le stime asintotiche in 0 sono parenti strettissimi dello sviluppo di Taylor emt

All'infinito invece ho ragionato in questo modo.

x^{\alpha}\sim_{x\to \infty}x^{\alpha} (banalmente)

mentre:

x^4+1\sim_{x\to \infty}x^4 (trascuro 1 perché non è un infinito)


quindi per il denominatore vale:

x^{\alpha}(x^4+1)\sim_{x\to \infty} x^{\alpha}\cdot x^{4}= x^{\alpha+4}

Per il numeratore invece:

x^3-\sin(x^3)\sim_{x\to \infty}x^3

perché \sin(x^3) è una funzione limitata quindi trascurabile perché sommata dall'infinito x^3

E' fondamentale quindi conoscere per bene l'argomento "confronto tra infiniti"

Il mio segreto? Dopo un anno e mezzo di youmath in cui io ed Omega ci siamo trovati senza esagerare almeno 2000 esercizi in cui intervengono le stime asintotiche (vedi limiti, integrali impropri, serie numeriche, Taylor) ormai credo siano diventati il mio pane quotidiano emt

La parola chiave è l'esercizio! (e conoscere almeno le stime asintotiche più importanti... e Taylor! emt )
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Integrale improprio con parametro variabile da stabilire #46732

avt
Satiro
Frattale
Non riesco a capire come ottenere l'asintotico quando x->0 :(

Re: Integrale improprio con parametro variabile da stabilire #46742

avt
Ifrit
Amministratore
Orbene emt

Iniziamo con il numeratore. Abbiamo detto che:

\sin(x^3)=x^3-\frac{x^9}{6}+o(x^9)

Per ottenere questo risultato, devi utilizzare lo sviluppo asintotico notevole del seno. Poiché

\sin(t)= t-\frac{t^3}{6}+o(t^3)

allora sostituendo x^3 a t avremo appunto:

\sin(x^3)=x^3-\frac{x^9}{6}+o(x^9)

La differenza

x^3-\sin(x^3)\sim_{x\to 0}x^3-x^3+\frac{x^9}{6}= \frac{x^9}{6}

E' fondamentale notare che se ci fossimo fermati al primo ordine nello sviluppo del seno non avremmo ottenuto una stima asintotica "significativa".

Veniamo al denominatore:

x^{\alpha}(x^4+1)\sim_{x\to 0}x^{\alpha}

il termine x^4+1 non viene preso in considerazione perché non è un infinitesimo emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, wonkis, Mark_Knopfler
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