Limite fratto con logaritmo naturale ed esponenziale

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Limite fratto con logaritmo naturale ed esponenziale #46241

avt
FonNeumann
Punto
Buongiorno! Ho problemi a risolvere il seguente limite fratto in cui compaiono un logaritmo naturale ed un'esponenziale, e spero che riusciate ad aiutarmi

\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1}{1-x}\right)+\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)}{x(e^x-1)}=

Io sono riuscito a fare solo un passaggio, sperando sia giusto

=\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{x(e^x-1)}

ma poi non riesco più ad andare avanti. Suppongo di dovermi riferire al limite notevole

\lim_{f(x)\to0}\frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}

Mi potreste aiutare per favore?
 
 

Re: Limite fratto con logaritmo naturale ed esponenziale #46257

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo il limite

\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1}{1-x}\right)+\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)}{x(e^x-1)}=(\bullet)

che si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right].

Possiamo risolverla applicando a dovere la proprietà dei logaritmi sul quoziente, grazie alla quale possiamo scrivere come segue i termini logaritmici

\\ \ln\left(\frac{1}{1-x}\right)= \ln(1)-\ln(1-x)=-\ln(1-x)\quad \mbox{con }x<1 \\ \\ \\ \ln\left(\frac{1}{1+x}\right)= \ln(1)-\ln(1+x)=-\ln(1+x)\quad \mbox{con }x>-1

e sostituendoli nel limite, diventa

(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{-\ln\left(1-x\right)-\ln\left(1+x\right)}{x(e^x-1)}=

Raccogliamo a fattore comune -1

=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x\right)+\ln\left(1+x\right)}{x(e^x-1)}=

e utilizziamo la regola sulla somma di logaritmi così da giungere alla forma equivalente

=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left((1-x)(1+x))}{x(e^x-1)}=

Eseguiamo il prodotto tra la somma e la differenza esprimendolo come differenza di quadrati

=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x^2)}{x(e^x-1)}=(\bullet\bullet)

Cerchiamo di ricondurci ai limiti notevoli del logaritmo e dell'esponenziale

\\ \lim_{h(x)\to 0}\frac{\ln(1+h(x))}{h(x)}=1 \\ \\ \\ \lim_{h(x)\to 0}\frac{e^{h(x)}-1}{h(x)}=1

utilizzando il tipico barbatrucco algebrico: moltiplichiamo e dividiamo per x

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x^2)\cdot x}{x^2(e^x-1)}=

Per evidenziare meglio i due limiti notevoli, esprimiamo il limite del prodotto come prodotto di limiti

=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x^2)}{x^2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}

Il primo fattore coincide con il limite notevole del logaritmo in forma generale, con h(x)=-x^2, dunque è uguale ad 1. Il secondo fattore invece è il reciproco del limite notevole dell'esponenziale e dunque vale 1.

Concludiamo quindi che il limite di partenza è 1

\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x^2)}{x^2}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=1

Fatto!
Ringraziano: Omega, FonNeumann

Re: Limite fratto con logaritmo naturale ed esponenziale #46266

avt
FonNeumann
Punto
Perfetto, grazie mille.
Ringraziano: BIOlogY
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Os