Limite fratto con logaritmo naturale ed esponenziale

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Limite fratto con logaritmo naturale ed esponenziale #46241

FonNeumann

Punto

Buongiorno! Ho problemi a risolvere il seguente limite fratto in cui compaiono un logaritmo naturale ed un'esponenziale, e spero che riusciate ad aiutarmi

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1}{1-x}\right)+\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)}{x(e^x-1)}=$

Io sono riuscito a fare solo un passaggio, sperando sia giusto

$=\lim_{x\to0}\frac{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{x(e^x-1)}$

ma poi non riesco più ad andare avanti. Suppongo di dovermi riferire al limite notevole

$\lim_{f(x)\to0}\frac{\ln(1+f(x))}{f(x)}$

Mi potreste aiutare per favore?

Re: Limite fratto con logaritmo naturale ed esponenziale #46257

Ifrit

Amministratore

Consideriamo il limite

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(\frac{1}{1-x}\right)+\ln\left(\frac{1}{1+x}\right)}{x(e^x-1)}=(\bullet)$

che si presenta nella forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$ .

Possiamo risolverla applicando a dovere la proprietà dei logaritmi sul quoziente, grazie alla quale possiamo scrivere come segue i termini logaritmici

$\\ \ln\left(\frac{1}{1-x}\right)= \ln(1)-\ln(1-x)=-\ln(1-x)\quad \mbox{con }x<1 \\ \\ \\ \ln\left(\frac{1}{1+x}\right)= \ln(1)-\ln(1+x)=-\ln(1+x)\quad \mbox{con }x>-1$

e sostituendoli nel limite, diventa

$(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{-\ln\left(1-x\right)-\ln\left(1+x\right)}{x(e^x-1)}=$

Raccogliamo a fattore comune -1

$=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x\right)+\ln\left(1+x\right)}{x(e^x-1)}=$

e utilizziamo la regola sulla somma di logaritmi così da giungere alla forma equivalente

$=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left((1-x)(1+x))}{x(e^x-1)}=$

Eseguiamo il prodotto tra la somma e la differenza esprimendolo come differenza di quadrati

$=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x^2)}{x(e^x-1)}=(\bullet\bullet)$

Cerchiamo di ricondurci ai limiti notevoli del logaritmo e dell'esponenziale

$\\ \lim_{h(x)\to 0}\frac{\ln(1+h(x))}{h(x)}=1 \\ \\ \\ \lim_{h(x)\to 0}\frac{e^{h(x)}-1}{h(x)}=1$

utilizzando il tipico barbatrucco algebrico: moltiplichiamo e dividiamo per

$(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x^2)\cdot x}{x^2(e^x-1)}=$

Per evidenziare meglio i due limiti notevoli, esprimiamo il limite del prodotto come prodotto di limiti

$=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x^2)}{x^2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}$

Il primo fattore coincide con il limite notevole del logaritmo in forma generale, con

, dunque è uguale ad 1. Il secondo fattore invece è il reciproco del limite notevole dell'esponenziale e dunque vale 1.

Concludiamo quindi che il limite di partenza è 1

$\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(1-x^2)}{x^2}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=1$

Fatto!

Ringraziano: Omega, FonNeumann

Re: Limite fratto con logaritmo naturale ed esponenziale #46266

FonNeumann Punto	Perfetto, grazie mille.
	Ringraziano: BIOlogY

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