Convergenza di una serie numerica con coseno

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Convergenza di una serie numerica con coseno #45118

avt
alexxover
Punto
Salve a tutti, sto esercitandomi per l'esame di Analisi e sto trovando un po' di problemi con alcune serie, anche trovate in internet, oggi la serie che mi ha fatto penare è:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos ^2(2 n)}{n (n+1)}

Decido di affrontarla con il criterio del rapporto, quindi faccio il limite della successione ed arrivo a questo punto

\lim_{n\to \infty } \, \frac{\cos ^2(2 n)}{n+2}=0

Aggiungo il risultato perché, arrivato a questo punto ho interpellato WolframAlpha nella speranza di ricevere l'illuminazione.. ma non è servito a molto.. come fà ad uscire 0? La funzione del coseno dovrebbe essere periodica e quindi non dovrebbe andare molto d'accordo con il limite, no? E allora sto pensando a qualche modo per scomporre il coseno, ma dopo un pò di ricerche non ho ottenuto molto se non un misero risultato

1-\sin ^2(2n)

oppure il metodo di wolfram che scompone il tutto ottenendo qualcosa come

\cos 2(\lim_{n\to \infty } \,n)

Non capisco come procedere.. possibile che il coseno non abbia importanza rispetto al denominatore che tende ad infinito!?
Grazie per l'aiuto!
 
 

Re: Convergenza di una serie numerica con coseno #45134

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alexxover emt

In riferimento alla tua ultima domanda: il rapporto tra una costante e un infinito è evidentemente un infinitesimo, segue dall'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi, e dal fatto che il coseno è una funzione limitata tra -1 e +1.

Per il resto ti complichi inutilmente la vita (da studente emt ). Il criterio del rapporto è assolutamente controproducente nel caso della serie proposta. Puoi infatti concludere velocemente che essa converge applicando prima un confronto per maggiorazione e poi un confronto asintotico.

1) Dato che -1\leq \cos{(2n)}\leq +1, segue immediatamente che

0\leq \cos^2{(2n)}\leq +1.

2) Possiamo maggiorare

\frac{\cos^2{(2n)}}{n(n+1)}\leq \frac{1}{n(n+1)}.

3) Al tendere di n\to +\infty possiamo considerare solamente l'infinito di ordine superiore al denominatore, da cui segue l'equivalenza asintotica

\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n^2+n}\sim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}

4) La serie armonica generalizzata con esponente 2 converge:

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}<+\infty

dunque per il criterio del confronto asintotico e per il criterio del confronto la serie data converge. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, alexxover, CarFaby, Nettuno, Guscio

Re: Convergenza di una serie numerica con coseno #45163

avt
alexxover
Punto
Insomma confronto asintotico con la serie di Mengoli...
Ottimo emt adesso si pone un secondo dilemma

[Edit - Mod] Rimosso [/Edit - Mod]

Re: Convergenza di una serie numerica con coseno #45169

avt
Omega
Amministratore
Se conosci la serie di Mengoli e puoi dare per buono che converge, tanto meglio! emt

Invece il nuovo esercizio che hai postato in coda l'ho rimosso, in accordo con le linee guida del Forum. In primo luogo perché ogni topic deve trattare uno ed un solo esercizio, successivamente perché in una discussione si deve trattare solo e solamente dell'argomento dichiarato nell'oggetto.

(Sono regole a tutela dei lettori, dato che il Forum è per il beneficio di tutti. emt )
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby

Re: Convergenza di una serie numerica con coseno #45171

avt
alexxover
Punto
Hai ragione! aprirò un altro topic!
Ringraziano: Omega
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Os