Convessità con radice e disequazione trascendente

Salve a tutti, potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio sullo studio della convessità di una funzione?

Devo stabilire quali sono gli intervalli di convessità di



Purtroppo ad un certo punto mi confondo con i calcoli perché si fanno troppo fitti!! Vi ringrazio molto.

Ciao Genfry92

Con la premessa che in quest'altra discussione (insieme di definizione con radice e disequazione trascendente) Ifrit ti ha mostrato un modo per affrontare le disequazioni trascendenti, per lo studio della convessità ci serve la derivata seconda di .

Questa la puoi calcolare, con buona pazienza, utilizzando:

- la formula di derivazione delle radici quadrate;

- il teorema di derivazione delle funzioni composte;

- (quando derivi la derivata prima) la regola di derivazione del rapporto di funzioni.

In questo modo ottieni, nell'ordine





Come da titolo, dunque, nello studiare il segno della derivata seconda ci ritroviamo di fronte ad una disequazione trascendente



e non dobbiamo preoccuparci del denominatore, essendo la radice quadrata una quantità non negativa, ove definita.

Ulteriore premessa: a meno che non sia esplicitamente richiesto, lo studio della convessità mediante la derivata seconda si può talvolta evitare. Ad ogni modo puoi risolvere la precedente disequazione in modo simile a quanto suggeritoti da Ifrit (mediante osservazioni di natura analitica), o, in alternativa, per confronto grafico.

Riscrivendo come



dove ad esempio e , determinare le soluzioni di equivale a calcolare gli intervalli d'ascissa per i quali il grafico di si trova al di sotto del grafico di .

Cosa serve? Nel caso di non ci sono problemi, basta conoscere approssimativamente il grafico dell'esponenziale con , e traslarlo verticalmente di un'unità verso il basso (metodo del grafico intuitivo).

Per sarà sufficiente effettuare un micro-studio a parte.

Alla fine dovrai rappresentare e trarre le debite conclusioni (per i punti di intersezione non è richiesto il valore esatto, puoi fornirne un'approssimazione spannometrica )



Uhm - nell'intorno di succede un bel rebelot. Vale la pena di aggiungere anche ulteriori considerazioni di carattere analitico, e.g. converrebbe studiare le derivate prime di per capire chi cresce più velocemente nell'intorno di , partendo dall'evidente presupposto per il quale .

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Soluzioni di :

Grazie per la risposta
Tu hai scritto che si può confrontare il grafico delle due funzioni per determinare le soluzioni della funzione di partenza. Vorresti dire che il grafico di h(x), per x>=0 si trova al di sotto del grafico di g(x)?
Inoltre, avrei potuto studiare la disequazione contraria? Quella del tipo
h(x)<=g(x) ?

Di niente!

Attenzione: si possono confrontare i grafici delle due funzioni (la cui scelta è arbitraria, a patto che sia coerente con la disequazione di partenza) per determinare le soluzioni della funzione della disequazione data (che nel nostro caso serviva per studiare la convessità di ).



Esattamente.

Infine, risolvere l'ultima disequazione che hai scritto è lo stesso che risolvere quella che ho considerato io, perché sono la stessa disequazione (basta leggere "la mia" al contrario).

OK grazie mille. Credo di aver capito tutto