Convessità con radice e disequazione trascendente

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Convessità con radice e disequazione trascendente #44892

avt
genfry92
Cerchio
Salve a tutti, emt potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio sullo studio della convessità di una funzione?

Devo stabilire quali sono gli intervalli di convessità di

f(x) = √(e^x-1-x)

Purtroppo ad un certo punto mi confondo con i calcoli perché si fanno troppo fitti!! Vi ringrazio molto.
 
 

Re: Convessità con radice e disequazione trascendente #44964

avt
Omega
Amministratore
Ciao Genfry92 emt

Con la premessa che in quest'altra discussione (insieme di definizione con radice e disequazione trascendente) Ifrit ti ha mostrato un modo per affrontare le disequazioni trascendenti, per lo studio della convessità ci serve la derivata seconda di f.

Questa la puoi calcolare, con buona pazienza, utilizzando:

- la formula di derivazione delle radici quadrate;

- il teorema di derivazione delle funzioni composte;

- (quando derivi la derivata prima) la regola di derivazione del rapporto di funzioni.

In questo modo ottieni, nell'ordine

f'(x) = (e^x-1)/(2√(e^x-x-1))

f''(x) = (e^(2x)-2xe^x-1)/(4(e^x-x-1)^((3)/(2)))

Come da titolo, dunque, nello studiare il segno della derivata seconda ci ritroviamo di fronte ad una disequazione trascendente

e^(2x)-2xe^(x)-1 ≥ 0 (•)

e non dobbiamo preoccuparci del denominatore, essendo la radice quadrata una quantità non negativa, ove definita.

Ulteriore premessa: a meno che non sia esplicitamente richiesto, lo studio della convessità mediante la derivata seconda si può talvolta evitare. Ad ogni modo puoi risolvere la precedente disequazione in modo simile a quanto suggeritoti da Ifrit (mediante osservazioni di natura analitica), o, in alternativa, per confronto grafico.

Riscrivendo (•) come

g(x) ≥ h(x)

dove ad esempio g(x) = e^(2x)-1 e h(x) = 2xe^x, determinare le soluzioni di (•) equivale a calcolare gli intervalli d'ascissa per i quali il grafico di h(x) si trova al di sotto del grafico di g(x).

Cosa serve? Nel caso di g(x) non ci sono problemi, basta conoscere approssimativamente il grafico dell'esponenziale y = c^x con c > 1, e traslarlo verticalmente di un'unità verso il basso (metodo del grafico intuitivo).

Per h(x) sarà sufficiente effettuare un micro-studio a parte.

Alla fine dovrai rappresentare g,h e trarre le debite conclusioni (per i punti di intersezione non è richiesto il valore esatto, puoi fornirne un'approssimazione spannometrica emt )

Confronto grafico per disequazione trascendente


Uhm - nell'intorno di x = 0 succede un bel rebelot. Vale la pena di aggiungere anche ulteriori considerazioni di carattere analitico, e.g. converrebbe studiare le derivate prime di g,h per capire chi cresce più velocemente nell'intorno di x = 0, partendo dall'evidente presupposto per il quale g(0) = 0 = h(0).

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Soluzioni di (•):

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Ringraziano: Pi Greco, genfry92

Re: Convessità con radice e disequazione trascendente #45102

avt
genfry92
Cerchio
Grazie per la risposta emt
Tu hai scritto che si può confrontare il grafico delle due funzioni per determinare le soluzioni della funzione di partenza. Vorresti dire che il grafico di h(x), per x>=0 si trova al di sotto del grafico di g(x)?
Inoltre, avrei potuto studiare la disequazione contraria? Quella del tipo
h(x)<=g(x) ?

Re: Convessità con radice e disequazione trascendente #45122

avt
Omega
Amministratore
Di niente! emt

Attenzione: si possono confrontare i grafici delle due funzioni (la cui scelta è arbitraria, a patto che sia coerente con la disequazione di partenza) per determinare le soluzioni della funzione della disequazione data (che nel nostro caso serviva per studiare la convessità di f).

Vorresti dire che il grafico di h(x), per x>=0 si trova al di sotto del grafico di g(x)?


Esattamente. emt

Infine, risolvere l'ultima disequazione che hai scritto è lo stesso che risolvere quella che ho considerato io, perché sono la stessa disequazione (basta leggere "la mia" al contrario).
Ringraziano: Pi Greco, genfry92

Re: Convessità con radice e disequazione trascendente #45174

avt
genfry92
Cerchio
OK grazie mille. Credo di aver capito tutto emt
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Os