Calcolo derivata composta per funzione esponenziale a base variabile

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Calcolo derivata composta per funzione esponenziale a base variabile #44841

avt
alexeno
Punto
Ciao ragazzi c'è qualcuno che mi può spiegare come si deriva questa funzione per derivazione composta?

f(x) = \left(1+\frac{1}{x}\right)^x

Ho provato ad applicare la regola di derivazione delle composte ma non mi torna comunque il risultato. emt

Grazie mille!
Ringraziano: cla0111
 
 

Re: Calcolo derivata composta per funzione esponenziale a base variabile #44859

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alexeno emt

In presenza di funzioni esponenziali con base variabile (dipendente da x) è necessario ricorrere ad un'opportuna identità algebrica prima di procedere con i calcoli.

Ricordando che y=e^{\ln{(y)}}, possiamo riscrivere la funzione come segue

f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e^{\ln{\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]}}=

poi, grazie ad una nota proprietà dei logaritmi

=e^{x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}}

a questo punto possiamo applicare il teorema di derivazione della funzione composta con profitto.

\frac{d}{dx}\left[e^{x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}}\right]=e^{x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}}\cdot \frac{d}{dx}\left[x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right]

Applichiamo la regola di derivazione del prodotto di funzioni

\frac{d}{dx}\left[x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right]=\frac{d}{dx}[x]\cdot \ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}+x\cdot \frac{d}{dx}\left[\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right]

e poi, di nuovo, la derivazione della funzione composta per l'ultima derivata

\frac{d}{dx}\left[\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right]=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \frac{d}{dx}\left[1+\frac{1}{x}\right]

Osserviamo ora che il fattore

\\ \frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{\frac{x+1}{x}}=\\ \\ \\=\frac{x}{x+1}

mentre per il teorema sulla derivata di una somma abbiamo che

\\ \frac{d}{dx}\left[1+\frac{1}{x}\right]=\frac{d}{dx}[1]+\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x}\right]=\\ \\ \\=-\frac{1}{x^2}

Pertanto

\\ \frac{d}{dx}\left[x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right]=\\ \\ \\= 1\cdot \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)+x\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=\\ \\ \\=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}

In definitiva, ricomponendo il tutto abbiamo che la derivata della funzione di partenza è

f'(x)=e^{x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right]=

che possiamo anche scrivere come

=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right]

Abbiamo concluso.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, alexeno, cla0111, Mark_Knopfler

Re: Calcolo derivata composta per funzione esponenziale a base variabile #44902

avt
alexeno
Punto
Grazie Omega:)
Ancora una cosa, non ho ben capito in quali casi devo fare il passaggio ad esponenziale e^ln(y) e in quali invece posso applicare subito la regola di derivazione delle esponenziali.
Grazie

Re: Calcolo derivata composta per funzione esponenziale a base variabile #44917

avt
Omega
Amministratore
Devi ricorrere all'identità quando anche la base dipende dalla variabile x, come ho avuto modo di scrivere nel precedente messaggio. emt
Ringraziano: Mark_Knopfler

Re: Calcolo derivata composta per funzione esponenziale a base variabile #44930

avt
alexeno
Punto
Ah ok capito grazie emt
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Os