Insieme di definizione con radice e disequazione trascendente

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Insieme di definizione con radice e disequazione trascendente #44570

avt
genfry92
Cerchio
Potreste aiutarmi a risolvere il seguente esercizio sul dominio di una funzione con radice?

Calcolare il dominio della funzione irrazionale

f(x) = √(e^x-1-x)

Grazie mille.
 
 

Re: Insieme di definizione con radice e disequazione trascendente #44579

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao genfry92,

dobbiamo determinare il dominio della funzione

f(x) = √(e^x-1-x)

Poiché la radice ha indice pari dobbiamo richiedere che il radicando sia maggiore o uguale a zero, ci riconduciamo quindi ad una disequazione trascendente

e^(x)-1-x ≥ 0

Questa disequazione è sempre verificata, infatti è una disuguaglianza notevole con l'esponenziale. Per mostrarlo possiamo procedere con il metodo grafico, non prima di aver espresso la disequazione nella forma

e^(x) ≥ x+1

Sul piano cartesiano rappresentiamo il grafico dell'esponenziale y = e^(x) (dovrebbe essere noto) e quello della funzione lineare affine y = x+1, il quale non è altro che una retta con coefficiente angolare m = 1 e ordinata all'origine q = 1.

A questo punto, poniamoci la domanda: "per quali valori di x, il grafico dell'esponenziale è ad una quota maggiore rispetto a quello della retta?". La risposta a tale domanda è per ogni x∈R.

Ciò garantisce che l'insieme di definizione della funzione data è

Dom(f) = R = (-∞,+∞)


Metodo alternativo (intervengono le derivate)

Per dimostrare la disuguaglianza

e^(x)-x-1 ≥ 0

possiamo avvalerci delle derivate. Consideriamo la funzione

h(x) = e^(x)-1-x

e calcoliamone la derivata prima mediante le opportune regole di derivazione:

h'(x) = e^(x)-1

Osserviamo che la derivata prima è positiva se

e^(x) > 1 → x > 0

è negativa se

e^(x) < 1 → x < 0,

mentre è nulla se x = 0.

In accordo con la teoria, h(x) è una funzione decrescente se x < 0 mentre è crescente se x > 0.

x = 0 è un punto di minimo assoluto, di conseguenza:

h(x) ≥ h(0) = 0

ossia

e^(x)-1-x ≥ 0

Ciò vuol dire che il radicando è positivo o nullo per ogni x reale.

Il dominio della funzione è pertanto Dom(f) = R.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, genfry92

Re: Insieme di definizione con radice e disequazione trascendente #44593

avt
genfry92
Cerchio
Grazie mille per la risposta, però chiariscimi un dubbio.

Potrei dire, in virtù delle tue considerazioni che la mia funzione radice quadrata è crescente in x > 0 e decrescente in x < 0 perché la composta di una funzione crescente è crescente?

Inoltre se mi venisse chiesto di studiarne anche la convessità? Non mi tornano esattamente i conti. Grazie per la pazienza.

Re: Insieme di definizione con radice e disequazione trascendente #44602

avt
Ifrit
Amministratore
Sì, la composizione di funzioni crescenti è crescente quindi puoi subito affermare che la funzione

f(x) = √(e^(x)-1-x)

è crescente per x > 0 proprio perché g(t) = √(t) è crescente, così come lo è la funzione

h(x) = e^(x)-1-x per > 0

di conseguenza f(x) è crescente per x > 0.

Ricordando che la composizione di due funzioni, di cui una decrescente e l'altra crescente, è decrescente.

Per la concavità e la convessità, devi procedere in modo canonico, purtroppo queste caratteristiche non sono stabili tramite composizione.

Per farti un esempio:

f(x) = e^(x) e g(x) = e^(-x) sono funzioni convesse mentre la funzione

y = min(f(x),g(x))

non lo è.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, genfry92

Re: Insieme di definizione con radice e disequazione trascendente #44609

avt
genfry92
Cerchio
Perfetto! Grazie mille Ifrit, sei stato molto chiaro!
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Os