Insieme di definizione con radice e disequazione trascendente

Potreste aiutarmi a risolvere il seguente esercizio sul dominio di una funzione con radice?

Calcolare il dominio della funzione irrazionale



Grazie mille.

Ciao genfry92,

dobbiamo determinare il dominio della funzione



Poiché la radice ha indice pari dobbiamo richiedere che il radicando sia maggiore o uguale a zero, ci riconduciamo quindi ad una disequazione trascendente



Questa disequazione è sempre verificata, infatti è una disuguaglianza notevole con l'esponenziale. Per mostrarlo possiamo procedere con il metodo grafico, non prima di aver espresso la disequazione nella forma



Sul piano cartesiano rappresentiamo il grafico dell'esponenziale (dovrebbe essere noto) e quello della funzione lineare affine , il quale non è altro che una retta con coefficiente angolare e ordinata all'origine .

A questo punto, poniamoci la domanda: "per quali valori di , il grafico dell'esponenziale è ad una quota maggiore rispetto a quello della retta?". La risposta a tale domanda è per ogni .

Ciò garantisce che l'insieme di definizione della funzione data è




Metodo alternativo (intervengono le derivate)

Per dimostrare la disuguaglianza



possiamo avvalerci delle derivate. Consideriamo la funzione



e calcoliamone la derivata prima mediante le opportune regole di derivazione:



Osserviamo che la derivata prima è positiva se



è negativa se

,

mentre è nulla se .

In accordo con la teoria, è una funzione decrescente se mentre è crescente se .

è un punto di minimo assoluto, di conseguenza:



ossia



Ciò vuol dire che il radicando è positivo o nullo per ogni reale.

Il dominio della funzione è pertanto .

Grazie mille per la risposta, però chiariscimi un dubbio.

Potrei dire, in virtù delle tue considerazioni che la mia funzione radice quadrata è crescente in e decrescente in perché la composta di una funzione crescente è crescente?

Inoltre se mi venisse chiesto di studiarne anche la convessità? Non mi tornano esattamente i conti. Grazie per la pazienza.

Sì, la composizione di funzioni crescenti è crescente quindi puoi subito affermare che la funzione



è crescente per proprio perché è crescente, così come lo è la funzione



di conseguenza è crescente per .

Ricordando che la composizione di due funzioni, di cui una decrescente e l'altra crescente, è decrescente.

Per la concavità e la convessità, devi procedere in modo canonico, purtroppo queste caratteristiche non sono stabili tramite composizione.

Per farti un esempio:

sono funzioni convesse mentre la funzione



non lo è.

Perfetto! Grazie mille Ifrit, sei stato molto chiaro!