Risoluzione di una disequazione irrazionale con modulo

Ciao, ho difficoltà con la risoluzione di una disequazione con radice e modulo nel calcolo del dominio della seguente funzione:



io ho messo:



solo che ora non so più come continuare, potete aiutarmi per favore?

Grazie mille.

Ciao eia93,

l'esercizio chiede di determinare il dominio della funzione



che si ricava imponendo la positività dell'argomento del logaritmo, ossia risolvendo la disequazione



Per semplificare le notazioni, poniamo così che la disequazione diventi:



Possiamo risolverla avvalendoci della teoria delle disequazioni irrazionali, ma prima utilizziamo un barbatrucco. La definizione di valore assoluto garantisce l'identità



Tale identità e le proprietà dei radicali consentono di esprimere come segue



I passaggi algebrici seguiti fanno sì che il valore assoluto sparisca dalla disequazione che si riscrive come



Questa è una disequazione irrazionale con indice pari, che è equivalente all'unione dei sistemi di disequazioni:



Concentriamoci sul primo sistema:



Intersecando le soluzioni, ricaviamo che il sistema è soddisfatto se e solo se

.

Il secondo sistema è invece soddisfatto se .

Unendo le soluzioni dei due sistemi ricaviamo



A questo punto, ripristiniamo l'incognita ricordando che è per definizione l'arcotangente di



La seconda condizione è immediata, a patto di ricordare che l'arcotangente è positiva nel momento in cui l'argomento è positivo



Per quanto concerne la doppia disequazione



essa equivale al sistema



La prima disequazione è sempre soddisfatta perché



mentre la seconda è realizzata nel momento in cui l'argomento dell'arcotangente è negativo



In definitiva



è soddisfatta per ogni numero reale diverso da zero, concludiamo pertanto che il dominio della funzione è



Ecco fatto.

Grazie mille!