Risoluzione di una disequazione irrazionale con modulo

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Risoluzione di una disequazione irrazionale con modulo #44363

avt
eia93
Banned
Ciao, ho difficoltà con la risoluzione di una disequazione con radice e modulo nel calcolo del dominio della seguente funzione:

f(x) = log(2arctan(x)+3√(|arctan(x)|))

io ho messo:

3√(|arctan(x)|) > -2arctan(x)

solo che ora non so più come continuare, potete aiutarmi per favore?

Grazie mille.
 
 

Re: Risoluzione di una disequazione irrazionale con modulo #44375

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao eia93,

l'esercizio chiede di determinare il dominio della funzione

f(x) = log(2arctan(x)+3√(|arctan(x)|))

che si ricava imponendo la positività dell'argomento del logaritmo, ossia risolvendo la disequazione

3√(|arctan(x)|) > -2arctan(x)

Per semplificare le notazioni, poniamo t = arctan(x) così che la disequazione diventi:

3√(|t|) > -2t

Possiamo risolverla avvalendoci della teoria delle disequazioni irrazionali, ma prima utilizziamo un barbatrucco. La definizione di valore assoluto garantisce l'identità

|t| = √(t^2) per ogni t∈R

Tale identità e le proprietà dei radicali consentono di esprimere √(|t|) come segue

√(|t|) = √(√(t^2)) = [4]√(t^2)

I passaggi algebrici seguiti fanno sì che il valore assoluto sparisca dalla disequazione che si riscrive come

3[4]√(t^2) > -2 t → [4]√(t^2) > -(2)/(3) t

Questa è una disequazione irrazionale con indice pari, che è equivalente all'unione dei sistemi di disequazioni:

t^2 ≥ 0 ;-(2)/(3)t ≥ 0 ; t^2 > (-(2)/(3)t)^(4) U t^2 ≥ 0 ;-(2)/(3)t < 0

Concentriamoci sul primo sistema:

 t^2 ≥ 0 → ∀ t∈R ;-(2)/(3)t ≥ 0 → t ≤ 0 ; t^2 > (16)/(81)t^4 → 16t^4-81 t^2 < 0 → -(9)/(4) < t < 0 ∨ 0 < t < (9)/(4)

Intersecando le soluzioni, ricaviamo che il sistema è soddisfatto se e solo se

-(9)/(4) < t < 0.

Il secondo sistema è invece soddisfatto se t > 0.

Unendo le soluzioni dei due sistemi ricaviamo

-(9)/(4) < t < 0 ∨ t > 0

A questo punto, ripristiniamo l'incognita x ricordando che t è per definizione l'arcotangente di x

-(9)/(4) < arctan(x) < 0 ∨ arctan(x) > 0

La seconda condizione è immediata, a patto di ricordare che l'arcotangente è positiva nel momento in cui l'argomento è positivo

arctan(x) > 0 → x > 0

Per quanto concerne la doppia disequazione

-(9)/(4) < arctan(x) < 0

essa equivale al sistema

-(9)/(4) < arctan(x) ; arctan(x) < 0

La prima disequazione è sempre soddisfatta perché

arctan(x) > -(π)/(2) > -(9)/(4)

mentre la seconda è realizzata nel momento in cui l'argomento dell'arcotangente è negativo

arctan(x) < 0 → x < 0

In definitiva

-(9)/(4) < arctan(x) < 0 ∨ arctan(x) > 0

è soddisfatta per ogni numero reale x diverso da zero, concludiamo pertanto che il dominio della funzione è

Dom(f) = R-0 = (-∞, 0) U (0,+∞)

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, eia93

Re: Risoluzione di una disequazione irrazionale con modulo #44635

avt
eia93
Banned
Grazie mille!
Ringraziano: Omega
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Os