Comportamento di un Integrale improprio al variare di un parametro

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Comportamento di un Integrale improprio al variare di un parametro #43436

avt
alex25
Punto
Ciao a tutti, vi propongo un esercizio su un integrale improprio con un parametro sul quale sono bloccato da qualche giorno.

Dunque, qual è l'insieme dei valori \alpha >0 per cui l'integrale

\int_{0}^{1}\frac{e^{2x^{2}}-1}{\sqrt{x^{2+\alpha }}\left ( 1+x^{\alpha } \right )}dx

è un integrale improprio e come integrale improprio è convergente?
[Soluzioni: 2<\alpha <4 ]

Ho capito che in 1 non ci sono problemi, mentre in 0 la funzione sembra essere una forma indeterminata. Quindi ho provato a calcolare il limite per x\Rightarrow 0 cercando qualche comportamento asintotico. Sono arrivato a questo limite:

\lim_{x\Rightarrow 0}{\frac{e^{2x^{2}}-1}{\sqrt{x^{2+\alpha }}\left ( 1+x^{\alpha } \right )}} \sim \lim_{x\Rightarrow 0}{\frac{2x^{2}}{\sqrt{x^{2+\alpha }}\left ( 1+x^{\alpha } \right )}}

Ora non riesco a ricondurre il tutto alla forma \frac{1}{x^{\alpha  }}.

Grazie! emt

Edit: Ho formattato il testo meglio che ho potuto ma ho qualche problema con gli spazi. emt
Ringraziano: Julia_4
 
 

Re: Comportamento di un Integrale improprio al variare di un parametro #43584

avt
Omega
Amministratore
Ciao Alex25,

l'approccio è buono, tranne che per una sottigliezza: se usi il simbolo di equivalenza asintotica non devi scrivere i limiti, ma solamente le funzioni e il punto del quale consideri un intorno. Se scrivi i limiti, devi indicare il simbolo di uguaglianza.

Per completezza, tratto anche il caso a\leq 0.

Giunti al punto in cui

\frac{e^{2x^2}-1}{\sqrt{x^{2+a}}(1+x^a)}\sim_{x\to 0^+}\frac{2x^2}{\sqrt{x^{2+a}}(1+x^a)}

(l'equivalenza asintotica viene dedotta dal limite notevole dell'esponenziali) bisogna capire come comportarsi con il termine (1+x^a).

Se a\geq 0, nessun problema: 1+x^{a}\sim_{x\to 0^+}1. Dunque

\frac{e^{2x^2}-1}{\sqrt{x^{2+a}}(1+x^a)}\sim_{x\to 0^+}\frac{2x^2}{\sqrt{x^{2+a}}}=\frac{2}{x^{\frac{2+a}{2}-2}}

e abbiamo convergenza se \frac{2+a}{2}-2<1, cioè a<4, facendo riferimento alla tabella degli integrali impropri notevoli.

Se invece prendiamo a<0, abbiamo 1+x^a\sim_{x\to 0}x^a, dunque

\frac{e^{2x^2}-1}{\sqrt{x^{2+a}}(1+x^a)}\sim_{x\to 0^+}\frac{2x^2}{\sqrt{x^{2+a}}x^a}=\frac{2}{x^{\frac{2+a}{2}-2+a}}

e abbiamo convergenza se \frac{2+a}{2}-2+a<1, ossia 2+a-4-2+2a<0, cioè a<\frac{4}{3}, cioè per ogni a<0.

Morale: non sono d'accordo con le soluzioni. D'altra parte, come controesempio, considera l'integrale per a=0:

\int_0^1{\frac{e^{2x^2}-1}{2x}dx}

è evidentemente un integrale convergente. emt Per quel che mi riguarda, l'integrale converge per ogni a<4.
Ringraziano: alex25, CarFaby, TerracottaPie, angietd, Paperin, Borel96, Julia_4, Mark_Knopfler

Re: Comportamento di un Integrale improprio al variare di un parametro #43738

avt
alex25
Punto
Perfetto grazie!

Non so se per un periodo era sparito il tasto "Rispondi" o se non lo vedevo io, per questo riesco a ringraziarti solo ora emt
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Os