Disequazione trascendente con logaritmo

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Disequazione trascendente con logaritmo #42948

avt
innoz
Punto
Non ho capito come risolvere una disequazione trascendente logaritmica.

ln(x)+x > 0

Personalmente la svolgerei così:

 ln(x) > 0 ; x > 0

con soluzione (0;+∞), è giusto?

E che differenza c'è con questa?

xln(x) > 0
 
 

Disequazione trascendente con logaritmo #42952

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao innoz,

ln(x)+x > 0

è una disequazione trascendente, ossia non può essere risolta tramite procedimenti esatti, bisogna procedere per approssimazioni.

Esistono vari procedimenti, uno di questi consiste nel metodo grafico che prevede di disegnare le funzioni

Dalla disequazione segue in particolare che

ln(x) > -x

per cui possiamo considerare le funzioni h(x) = ln(x), k(x) = -x. Fortunatamente le funzioni coinvolte sono semplici e hanno rispettivamente come grafico la bisettrice del secondo-quarto quadrante e quello della funzione logaritmica.

logaritmo_vs_retta

Determina qualitativamente l'ascissa del punto di intersezione tra la retta e il grafico del logaritmo (è un valore compreso tra 0.5 e 1) e chiamalo x_0.

A questo punto chiediti quand'è che il grafico della funzione logaritmo sta ad una quota maggiore a quello della retta. Scopriamo che:

ln(x) > -x ⇔ x > x_0 dove x_0∈ ((1)/(2),1)


La seconda disequazione può essere risolta tranquillamente con metodi algebrici:

xln(x) > 0

Abbiamo un prodotto di due funzioni, esso è positivo se e solo se le due funzioni sono concordi (hanno lo stesso segno).

Studiamo il segno di ciascun fattore nel campo d'esistenza (che è x>0)

 x > 0 ⇔ x > 0 ; ln(x) > 0 ⇔ x > 1

A questo punto tabuliamo il segno delle funzioni:

x :(0)+++(1)+++; ln(x) : (0)---(1)+++; xln(x) : (0)---(1)+++

Scopriamo che la disequazione è soddisfatta per x > 1.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Disequazione trascendente con logaritmo #42985

avt
innoz
Punto
Ecco dove sbagliavo sulla seconda, consideravo anche quella una trascendente..

Grazie!
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Os