integrale indefinito di funzione razionale fratta

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integrale indefinito di funzione razionale fratta #42702

avt
watson
Frattale
Ciao ragazzi, non mi trovo con il risultato di questo semplice integrale indefinito, potete darmi una mano?

∫((x+2)/(x^2-4x+5))dx

Grazie
 
 

Re: integrale indefinito di funzione razionale fratta #42706

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Watson,

abbiamo l'integrale di una funzione razionale in cui il grado del numeratore è minore del grado del polinomio al denominatore. Inoltre il polinomio al denominatore è irriducibile (ha Δ < 0)

Il trucco per risolvere questo tipo di integrali è far sì che al numeratore appaia (da qualche parte) la derivata del denominatore:

Nel caso particolare abbiamo che la derivata del denominatore è 2 x-4

Moltiplichiamo e dividiamo per due la funzione integranda così da ottenere:

∫(x+2)/(x^2-4x+5) = (1)/(2)∫ (2x+4)/(x^2-4x+5)dx =

Sommiamo e sottraiamo 4 al numeratore:

 (1)/(2)∫ (2x-4+4+4)/(x^2-4x+5)dx = (1)/(2)∫ ((2x-4)/(x^2-4x+5)+(8)/(x^2-4x+5))dx =

Sfruttiamo la linearità dell'operatore integrale

= (1)/(2)(∫ (2x-4)/(x^2-4x+5)dx+∫(8)/(x^2-4x+5)dx)


Consideriamo separatamente gli integrali

∫ (2x-4)/(x^2-4x+5)dx = ln(x^2-4x+5)+c

si presenta infatti nella forma (vedi integrali fondamentali)

∫ (f'(x))/(f(x))dx = ln|f(x)|+c

Nel nostro caso abbiamo omesso il valore assoluto perché x^2-4x+5 è una quantità positiva per ogni x ∈ R.

Il secondo integrale è più delicato.

∫ (8)/(x^2-4x+5)dx

Completiamo il quadrato al denominatore:

x^2-4x+5 = x^2-4x+4+1 = (x-2)^2+1

L'integrale si riscrive come:

∫ (8)/((x-2)^2+1)dx = 8 ∫(1)/((x-2)^2+1)dx

Calcoliamo l'integrale per sostituzione t = x-2 ⇒ dt = dx, l'integrale diventa:

8 ∫(1)/(t^2+1)dt = 8arctan(t)+c

tornando in x:

∫ (8)/(x^2-4x+5)dx = 8arctan(x-2)+c


In definitiva:

 (1)/(2)(∫ (2x-4)/(x^2-4x+5)dx+∫(8)/(x^2-4x+5)dx) = (1)/(2)(ln(x^2-4x+5)+8arctan(x-2))+k = (1)/(2)ln(x^2-4x+5)+4arctan(x-2)+k =

che si può esprimere anche come:

= ln(√(x^2-4x+5))+4arctan(x-2)+k
Ringraziano: Omega, Pi Greco, watson, CarFaby, TeQuila.

Re: integrale indefinito di funzione razionale fratta #42708

avt
Galois
Amministratore
Ciao Watson.

L'integrando è una funzione fratta, con il grado del numeratore minore del grado del denominatore, avente a denominatore un polinomio di secondo grado.

Procediamo quindi col metodo detto "dei fratti semplici"

Iniziamo con lo studiare il denominatore:

x^(2)-4x+5

Troviamo il Delta:

D = b^(2)-4ac = 16-20 = -4 < 0

Pertanto il polinomio non ammette radici reali.

Per il calcolo dell'integrale si procede in questo modo, ponendo:

(x+2)/(x^(2)-4x+5) = (A(2x-4)+B)/(x^(2)-4x+5),

dove il 2x-4 altro non è se non la derivata del denominatore.

Facendo i conti per ricavare A e B si ottiene:

(x+2)/(x^(2)-4x+5) = (2Ax+B-4A)/(x^(2)-4x+5), da cui:

A = (1)/(2) e B = 4

Quindi si ha:

(x+2)/(x^(2)-4x+5) = ((1)/(2)(2x-4)+4)/(x^(2)-4x+5),

e quindi:

∫((x+2)/(x^(2)-4x+5))dx =

(1)/(2)∫((2x-4)/(x^(2)-4x+5))dx+4∫((1)/(x^(2)-4x+5))dx

Ora, nel primo integrale il numeratore è la derivata del denominatore, quindi:

(1)/(2)∫((2x-4)/(x^(2)-4x+5))dx = (1)/(2)log(x^(2)-4x+5)

mentre:

4∫((1)/(x^(2)-4x+5))dx = 4∫((1)/((x^(2)-4x+4)+1))dx = 4∫((1)/((x-2)^(2)+1))dx = 4arctg(x-2)

Pertanto:

∫((x+2)/(x^(2)-4x+5))dx = (1)/(2)log(x^(2)-4x+5)+4arctg(x-2)+c, c∈ R
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, watson, CarFaby, mattob
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