integrale indefinito di funzione razionale fratta

Ciao ragazzi, non mi trovo con il risultato di questo semplice integrale indefinito, potete darmi una mano?



Grazie

Ciao Watson,

abbiamo l'integrale di una funzione razionale in cui il grado del numeratore è minore del grado del polinomio al denominatore. Inoltre il polinomio al denominatore è irriducibile (ha )

Il trucco per risolvere questo tipo di integrali è far sì che al numeratore appaia (da qualche parte) la derivata del denominatore:

Nel caso particolare abbiamo che la derivata del denominatore è

Moltiplichiamo e dividiamo per due la funzione integranda così da ottenere:



Sommiamo e sottraiamo al numeratore:



Sfruttiamo la linearità dell'operatore integrale




Consideriamo separatamente gli integrali



si presenta infatti nella forma (vedi integrali fondamentali)



Nel nostro caso abbiamo omesso il valore assoluto perché è una quantità positiva per ogni .

Il secondo integrale è più delicato.



Completiamo il quadrato al denominatore:



L'integrale si riscrive come:



Calcoliamo l'integrale per sostituzione , l'integrale diventa:



tornando in :




In definitiva:



che si può esprimere anche come:

Ciao Watson.

L'integrando è una funzione fratta, con il grado del numeratore minore del grado del denominatore, avente a denominatore un polinomio di secondo grado.

Procediamo quindi col metodo detto "dei fratti semplici"

Iniziamo con lo studiare il denominatore:



Troviamo il Delta:



Pertanto il polinomio non ammette radici reali.

Per il calcolo dell'integrale si procede in questo modo, ponendo:

,

dove il altro non è se non la derivata del denominatore.

Facendo i conti per ricavare A e B si ottiene:

, da cui:



Quindi si ha:

,

e quindi:

=



Ora, nel primo integrale il numeratore è la derivata del denominatore, quindi:



mentre:



Pertanto: