Limite fratto con radice e seno, esercizio

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Limite fratto con radice e seno, esercizio #42168

avt
GC_13
Cerchio
Salve di nuovo, ho una nuova domanda da porre su un limite di una funzione fratta! Devo calcolare questo limite da destra e sinistra della funzione nel punto 0.

Non capisco perché devo usare due metodi diversi ossia in un caso razionalizzare (x\to 0^{-}) e nell'altro no (x\to 0^+).

Il limite è il seguente

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+2x^3}+x}{\sin^2(x)}

Per x\to 0^+ viene +infinito; per x\to 0^- viene -1. Grazie a tutti!
 
 

Limite fratto con radice e seno, esercizio #42171

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao GC_13,

dobbiamo calcolare il limite destro e il limite sinistro per x\to 0 della funzione

f(x)=\frac{\sqrt{x^2+2x^3}+x}{\sin^2(x)}

facendo uso dei limiti notevoli e di qualche trucchetto algebrico.

Iniziamo con il limite sinistro

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sqrt{x^2+2x^3}+x}{\sin^2(x)}=

mettendo in evidenza x^2 nel radicando:

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sqrt{x^2(1+2x)}+x}{\sin^2(x)}=

In accordo con le proprietà delle radici, possiamo esprimere la radice di un prodotto come prodotto di radici a patto che i singoli fattori siano non negativi

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sqrt{x^2}\sqrt{1+2x}+x}{\sin^2(x)}=

e sfruttando la relazione \sqrt{x^2}=|x|, il limite diventa

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{|x|\sqrt{1+2x}+x}{\sin^2(x)}=(\bullet)

Poiché x\to 0^{-}, stiamo raggiungendo lo 0 per valori negativi e per definizione di valore assoluto

\sqrt{x^2}=|x|= -x\quad \forall x<0

di conseguenza scriveremo

(\bullet)=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x\sqrt{1+2x}+x}{\sin^2(x)}=

Mettiamo in evidenza -x al numeratore

=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x(\sqrt{1+2x}-1)}{\sin^2(x)}=(\bullet)

e facciamo intervenire due limiti notevoli:

- il limite notevole del seno

\lim_{h(x)\to 0}\frac{\sin(h(x))}{h(x)}=1

mediante il quale possiamo costruire la relazione asintotica

\sin(h(x))\sim_{h(x)\to 0}h(x)

- il limite notevole associato alla radice

\lim_{h(x)\to 0}\frac{\sqrt{1+h(x)}-1}{h(x)}=\frac{1}{2}

con cui costruiamo la stima asintotica

\sqrt{1+h(x)}-1\sim_{h(x)\to 0}\frac{h(x)}{2}

Nel caso in esame

\\ \sin^2(x)\sim_{x\to 0}x^2 \\ \\ \sqrt{1+2x}-1\sim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot 2x=x

e rimpiazzando i due termini con gli equivalenti nel limite otteniamo

(\bullet)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-x\cdot x }{x^2}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-x^2}{x^2}=-1

Il limite sinistro è calcolato.


Prendiamo in esame il limite destro

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x^2+2x^3}+x}{\sin^2(x)}=

che si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo sciogliere mettendo in evidenza x^2 nel radicando

=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x^2(1+2x)}+x}{\sin^2(x)}=

Eseguendo i passaggi analoghi al caso precedentemente trattato scriveremo il limite destro nella forma equivalente

=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{|x|\sqrt{1+2x}+x}{\sin^2(x)}=

Questa volta x si avvicina a 0 per valori positivi, di conseguenza |x|=x e il limite diventa

=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x\sqrt{1+2x}+x}{\sin^2(x)}

Mettiamo in evidenza x:

=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x(\sqrt{1+2x}+1)}{\sin^2(x)}=

e sostituiamo il seno con il suo equivalente asintotico, ossia x^2

=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x(\sqrt{1+2x}+1)}{x^2}=

Semplifichiamo x e concludiamo che il limite è +\infty

=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{1+2x}+1}{x}= \left[\frac{2}{0^{+}}\right]= +\infty

Il risultato è giustificato dall'algebra degli infiniti.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, GC_13

Limite fratto con radice e seno, esercizio #42172

avt
GC_13
Cerchio
Solo una parola: grazie!
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Os