Un esercizio sulla derivata di una funzione fratta

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Un esercizio sulla derivata di una funzione fratta #4103

avt
francy84
Frattale
Ciao, mi servirebbe una mano con il calcolo della derivata di una funzione fratta.

Sto studiando le derivate e non riesco a capire come mai il sottostante esercizio o simili non mi tornano. Per capire dove sbaglio potete farmi vedere come si risolve?

f(x) = \frac{x^2 + x^6 - 3x^3}{x^4}

Vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Un esercizio sulla derivata di una funzione fratta #4105

avt
frank094
Sfera
Ciao francy84!

La derivazione delle funzioni fratte viene trattata nella lezione del link, quindi prima dello svolgimento dell'esercizio ti consiglio di leggerla così da seguirmi al meglio.

y= \frac{x^2 + x^6 - 3x^3}{x^4}

La formula per la derivazione di funzioni fratte ci dice che

y' = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{[g(x)]^2}

dove

f(x)=x^2+x^6-3x^3

è il numeratore della funzione data ed f'(x) la sua derivata, mentre

g(x)=x^4

è il denominatore della funzione e, come possiamo facilmente immaginare, g'(x) è la sua derivata


Le derivate sono singolarmente facili da calcolare, infatti per la regola di derivazione della somma di funzioni

f'(x) = 2x + 6x^5 - 9x^2

Per la regola di derivazione delle potenze invece si ha che

 g'(x) = 4x^3

Andiamo a sostituire nella formula sopra e iniziamo a fare i primi calcoli

\\ y' = \frac{x^4 \cdot ( 2x + 6x^5 - 9x^2 ) - 4x^3 \cdot ( x^2 + x^6 - 3x^3 )}{(x^4)^2}=\\ \\ \\ = \frac{x^3 \cdot ( 2x^2 + 6x^6 - 9x^3 ) - 4x^3 \cdot ( x^2 + x^6 - 3x^3 )}{x^8}=

Mettiamo in evidenza x^3 e semplifichiamolo con x^8

\\ = \frac{2x^2 + 6x^6 - 9x^3 - 4 \cdot ( x^2 + x^6 - 3x^3 )}{x^5}=\\ \\ \\=\frac{2x^2 + 6x^6 - 9x^3 - 4x^2 -4x^6 + 12x^3 }{x^5}=

Sommando i termini simili

\\ =\frac{2x^6 + 3x^3 - 2x^2}{x^5}=\\ \\ \\= \frac{2x^4 + 3x - 2}{x^3}=

Distribuendo il denominatore a ciascun addendo del numeratore e semplificando in modo opportuno, otteniamo l'espressione della derivata

\\ =\frac{2x^4}{x^3}+\frac{3x}{x^3}-\frac{2}{x^3}= \\ \\ \\ = 2x+\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x^3}

L'esercizio è terminato.
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os