Risoluzione di un limite fratto con limiti notevoli?

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Risoluzione di un limite fratto con limiti notevoli? #40357

therock1985 Punto	Ciao a tutti, devo risolvere questo limite (secondo me con i limiti notevoli) ma mi crea qualche problemino. $\lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)\sin(x)}{e^{x}\sin(\pi x)}$ Potreste aiutarmi?

Risoluzione di un limite fratto con limiti notevoli? #40358

Omega

Amministratore

Ciao TheRock1985,

sì, conviene procedere con i limiti notevoli (come si usano i limiti notevoli?).

Il limite

$\lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)\sin(x)}{e^{x}\sin(\pi x)}=(\bullet)$

genera la forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$ che possiamo sciogliere mediante l'uso dei limiti notevoli, però prima bisogna lavorare per un istante sul logaritmo, in modo tale da apparecchiarlo: per poter applicare il corrispondente limite notevole dobbiamo scriverlo nella forma

$\ln{(1+f(x))}$

in modo tale che $f(x)\to 0$ al tendere di $x\to 1$ .

Che c'è di meglio che sommare e sottrarre un

nell'argomento? Nulla, infatti in questo modo preserviamo l'uguaglianza e dunque il passaggio è lecito

$(\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{\ln{(1+(x-1))}\sin{(x)}}{e^x\sin{(\pi x)}}=(\bullet\bullet)$

In accordo con l'equivalenza asintotica associata al limite notevole

$\ln{(1+(x-1))}\sim_{x\to 1} (x-1)$

possiamo sostituire il termine logaritmico con

.

Osserviamo inoltre che vi sono due termini che non generano né infiniti né infinitesimi:

$\\ \sin(x)\sim_{x\to 1}\sin(1) \\ \\ e^{x}\sim_{x\to 1}e$

e per i quali possiamo procedere per sostituzione diretta.

Infine, con un ragionamento analogo al precedente, possiamo rimaneggiare il termine trigonometrico

$\sin{(\pi x)}$

sommando e sottraendo $\pi$ , infatti il limite notevole del seno richiede che $\sin{(f(x))}$ sia infinitesimo quando $f(x)\to 0$ al tendere di $x\to 1$ .

In accordo con le formule sugli archi associati

$\sin{(\pi x)}=\sin{(\pi x-\pi+\pi)}= \\ \\ =\sin{(\pi+ \pi(x-1))}=-\sin(\pi(x-1))$

Il limite notevole del seno permette di generare la relazione asintotica

$\sin{(\pi(x-1))}\sim_{x\to 1}\pi(x-1)$

e conseguentemente possiamo calcolare il limite equivalente

$(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\sin{(x)}}{e^{x}(-\pi)(x-1)}=-\frac{\sin{(1)}}{\pi e}$

Ecco fatto.

Ringraziano: LittleMar, Ifrit

Re: Risoluzione di un limite fratto con limiti notevoli? #40605

therock1985 Punto	Grazie a tutti per le informazioni.
	Ringraziano: Omega

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