Risoluzione di un limite fratto con limiti notevoli?

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Risoluzione di un limite fratto con limiti notevoli? #40357

avt
therock1985
Punto
Ciao a tutti, devo risolvere questo limite (secondo me con i limiti notevoli) ma mi crea qualche problemino.

\lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)\sin(x)}{e^{x}\sin(\pi x)}

Potreste aiutarmi? emt
 
 

Risoluzione di un limite fratto con limiti notevoli? #40358

avt
Omega
Amministratore
Ciao TheRock1985,

sì, conviene procedere con i limiti notevoli (come si usano i limiti notevoli?).

Il limite

\lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)\sin(x)}{e^{x}\sin(\pi x)}=(\bullet)

genera la forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo sciogliere mediante l'uso dei limiti notevoli, però prima bisogna lavorare per un istante sul logaritmo, in modo tale da apparecchiarlo: per poter applicare il corrispondente limite notevole dobbiamo scriverlo nella forma

\ln{(1+f(x))}

in modo tale che f(x)\to 0 al tendere di x\to 1.

Che c'è di meglio che sommare e sottrarre un 1 nell'argomento? Nulla, infatti in questo modo preserviamo l'uguaglianza e dunque il passaggio è lecito

(\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{\ln{(1+(x-1))}\sin{(x)}}{e^x\sin{(\pi x)}}=(\bullet\bullet)

In accordo con l'equivalenza asintotica associata al limite notevole

\ln{(1+(x-1))}\sim_{x\to 1} (x-1)

possiamo sostituire il termine logaritmico con x-1.

Osserviamo inoltre che vi sono due termini che non generano né infiniti né infinitesimi:

\\ \sin(x)\sim_{x\to 1}\sin(1) \\ \\ e^{x}\sim_{x\to 1}e

e per i quali possiamo procedere per sostituzione diretta.

Infine, con un ragionamento analogo al precedente, possiamo rimaneggiare il termine trigonometrico

\sin{(\pi x)}

sommando e sottraendo \pi, infatti il limite notevole del seno richiede che \sin{(f(x))} sia infinitesimo quando f(x)\to 0 al tendere di x\to 1.

In accordo con le formule sugli archi associati

\sin{(\pi x)}=\sin{(\pi x-\pi+\pi)}= \\ \\ =\sin{(\pi+ \pi(x-1))}=-\sin(\pi(x-1))

Il limite notevole del seno permette di generare la relazione asintotica

\sin{(\pi(x-1))}\sim_{x\to 1}\pi(x-1)

e conseguentemente possiamo calcolare il limite equivalente

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)\sin{(x)}}{e^{x}(-\pi)(x-1)}=-\frac{\sin{(1)}}{\pi e}

Ecco fatto.
Ringraziano: LittleMar, Ifrit

Re: Risoluzione di un limite fratto con limiti notevoli? #40605

avt
therock1985
Punto
Grazie a tutti per le informazioni.
Ringraziano: Omega
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Os