Procedimento ricerca valori convergenza serie numerica

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Procedimento ricerca valori convergenza serie numerica #3788

avt
nando
Frattale
Ho iniziato lo studio delle serie numeriche e ho trovato un esercizio sulla convergenza risolto con il criterio del confronto asintotico. Da quello che mi sembra di capire dalle soluzioni con questo metodo mi devo ricondurre alla serie armonica generalizzata, usando gli sviluppi asintotici. Corretto?

Determinare i valori del parametro reale \alpha\in\mathbb{R}, per i quali la seguente serie sia convergente.

\sum_{n=1}^{+\infty}{n^{\alpha}}\left[e-e^{\cos\left(\tfrac{1}{n}\right)}\right]

Grazie.
 
 

Re: Procedimento ricerca valori convergenza serie numerica #3808

avt
Omega
Amministratore
In linea di massima, lo studio del carattere di una serie parametrica si avvale del criterio del confronto asintotico: se due successioni positive \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \ \mbox{e} \ \{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} sono asintoticamente equivalenti, allora le serie

\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\ \ \ \mbox{e}\ \ \ \sum_{n=1}^{+\infty}b_n

hanno il medesimo comportamento (convergono o divergono entrambi).

Data la serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n, il nostro compito consiste nel ricavare una sua successione asintotica la cui serie sia più semplice da analizzare.

Se il caso lo consente, useremo i limiti notevoli di successioni o ancora gli sviluppi di Taylor per successioni per associare alla serie che vogliamo studiare, la serie armonica generalizzata

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\beta}}

che converge se e solo se \beta>1, oppure la serie armonica modificata

\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^{\beta}\ln^{\gamma}(n)}

che converge se e solo se

\beta>0\ \mbox{e per ogni} \ \gamma\in\mathbb{R}

oppure per

\beta=1\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \gamma>1.

in tutti gli altri casi diverge. Perché proprio queste due serie? Per un solo motivo: conosciamo molto bene il loro comportamento, al variare dei parametri \beta\ \mbox{e} \ \gamma \in\mathbb{R}.


Carattere della serie con gli esponenziali

Consideriamo la serie parametrica

\sum_{n=1}^{+\infty}{n^{\alpha}}\left[e-e^{\cos\left(\tfrac{1}{n}\right)}\right]

il cui termine generale è

a_n=n^{\alpha}\left[e-e^{\cos\left(\tfrac{1}{n}\right)}\right]

ed è positivo per ogni n\ge 1 e per ogni \alpha\in\mathbb{R} (ciò ci autorizza a usare il criterio del confronto asintotico).

Per ricavare una successione asintoticamente equivalente ad a_n, mettiamo in evidenza -e

a_{n}=-e n^{\alpha}\left[e^{\cos\left(\tfrac{1}{n}\right)-1}-1\right]

e osserviamo che per n\to +\infty il termine in coseno tende a 1, di conseguenza l'esponente dell'esponenziale tende a zero.

Alla luce delle precedenti osservazioni, e grazie agli sviluppi

\\ e^{c_n}-1\sim c_n\ \ \ \mbox{per}\ c_n\to 0\\ \\ 1-\cos(c_n)\sim\frac{c_n^2}{2}\ \ \ \mbox{per} \ c_n\to 0

possiamo scrivere le seguenti

\\ -e n^{\alpha}\left[e^{\cos\left(\tfrac{1}{n}\right)-1}-1\right]\sim -e n^{\alpha}\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)-1\right)=\\ \\ \\ =en^{\alpha}\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\sim en^{\alpha}\cdot\frac{1}{2n^{2}}=\frac{e}{2}\cdot\frac{1}{n^{2-\alpha}}

Per ogni \alpha\in\mathbb{R}, quindi, il termine generale della serie si comporta asintoticamente come

\frac{e}{2}\cdot\frac{1}{n^{2-\alpha}}

e in virtù del criterio del confronto asintotico, la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}{n^{\alpha}}\left[e-e^{\cos\left(\tfrac{1}{n}\right)}\right]

converge se e solo se converge

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e}{2}\cdot\frac{1}{n^{2-\alpha}}=\frac{e}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2-\alpha}}

Quest'ultima è una serie armonica generalizzata (a meno del fattore \frac{e}{2}) che converge nel momento in cui l'esponente 2-\alpha è maggiore di uno, cioè se e solo se:

2-\alpha>1 \ \ \ \to \ \ \ \alpha<1

In definitiva, possiamo concludere che

\sum_{n=1}^{+\infty}{n^{\alpha}}\left[e-e^{\cos\left(\tfrac{1}{n}\right)}\right]

è una serie convergente se e solo se \alpha<1.

Fatto!
Ringraziano: frank094, nando
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Os