Studiare la derivabilità di una funzione: metodo delle derivate?

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Studiare la derivabilità di una funzione: metodo delle derivate? #37192

avt
ND92
Punto
Per studiare la derivabilità di una funzione in un punto, devo per forza confrontare i limiti sinistro e destro dei rapporti incrementali oppure posso più semplicemente eseguire i limiti sinistro e destro della funzione già derivata (il cosiddetto "metodo delle derivate")?

Grazie!
 
 

Re: Studiare la derivabilità di una funzione: metodo delle derivate? #37198

avt
Omega
Amministratore
Ciao ND92,

nella lezione sulla derivabilità abbiamo già avuto modo di vedere che il metodo che vale sempre e comunque è quello che fa riferimento alla definizione di derivabilità: i due limiti sinistro e destro del rapporto incrementale calcolati nel punto devono coincidere.

A volte, però, si può procedere confrontando i due limiti sinistro e destro della derivata prima, ma questo metodo alternativo non funziona sempre.

Quali sono le ipotesi che permettono di verificare la derivabilità della funzione attraverso i limiti delle derivate prime?

Devono valere le ipotesi del teorema di Darboux, il quale asserisce che se la funzione è continua e se esiste finito il limite della derivata, allora la funzione è derivabile.

Attenzione però: se il limite della derivata prima non esiste, la funzione potrebbe essere ugualmente derivabile!

Ifrit ha spiegato molto bene questo fatto in diverse circostanze, motivo per il quale ti rimando ad esempio alla seguente discussione, che è condita da esempi e controesempi: sui metodi di studio della derivabilità con rapporti incrementali e derivate.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, ND92, DDE95
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Os