Risoluzione segno disequazione logaritmica fratta

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Risoluzione segno disequazione logaritmica fratta #35941

avt
albert99
Banned
Salve, ho provato a risolvere questa disequazione fratta e logaritmica (fa parte di uno studio):

(1+x)/(log_(e)(1+x))+2(1+x) > 0

Porto 2(1+x) a destra e diventa negativo. Poi divido entrambi i membri per (1+x) (so che è una quantità positiva perché è uguale all'argomento del logaritmo). Quindi mi rimane questo:

(1)/(log_(e)(1+x)) > -2

Capovolgo il tutto così:

log_(e)(1+x) < -(1)/(2)

(notare che ho cambiato il segno alla disequazione)

Alla fine ottengo come soluzione:

x < (1)/(√(e))-1

Però guardando il seguente grafico della funzione, si nota che la funzione è positiva anche per x > 0. Dove sbaglio?

graf


Grazie.
 
 

Re: Risoluzione segno disequazione logaritmica fratta #35947

avt
Danni
Sfera
Nella risoluzione della disequazione fratta Hai trascurato la discussione del denominatore emt

Numeratore positivo

-1 < x < e^(-(1)/(2))-1

Denominatore positivo:

ln(1+x) > 0

per

x > 0

Prodotto grafico (chiamo x₁ l'esponenziale)

-1|---x_1+++(0)+++

-1|---x_1---(0)+++

f(x) > 0 ⇔-1 < x < x_1 ; ∨ ;x > 0

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, albert99

Re: Risoluzione segno disequazione logaritmica fratta #35948

avt
albert99
Banned
Ah, è vero emt

Come sarei dovuto partire? Perché ho un termine col denominatore e l'altro no. Avrei dovuto distribuire il denominatore, e poi fare il segno per il numeratore e denominatore? Perché ora ho un po' di confusione, nel senso che mi sto chiedendo:
per trovare il segno del numeratore... ho tenuto conto dell'intera espressione, mentre invece per fare il segno del denominatore, ho tenuto conto del solo denominatore.
Perché? Puoi chiarirmi questa parte? Magari mi mostri come l'avresti risolto tu (dall'inizio).

Grazie!

Re: Risoluzione segno disequazione logaritmica fratta #35949

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Albert99 emt

Abbiamo la disequazione

(1+x)/(ln(1+x))+2(1+x) > 0

Come sempre determini il campo d'esistenza, dobbiamo imporre che

1+x > 0 ⇔ x > -1

(condizione d'esistenza logaritmo)

e

ln(1+x) ne 0 ⇔ 1+x ne 1 ⇔ x ne 0

(condizione d'esistenza della )

Minimo comune multiplo:

(1+x+2(1+x)ln(1+x))/(ln(1+x)) > 0

A questo punto metti in evidenza:

((1+x)(1+2ln(1+x)))/(ln(1+x)) > 0

Studia questa disequazione, come? Semplicemente studiando il segno di ciascun fattore:

1+x > 0 ⇔ x > -1

1+2ln(1+x) > 0 ⇔ 2ln(1+x) > -1 ⇔

ln(1+x) > -(1)/(2) ⇔ 1+x > e^(-(1)/(2)) ⇔ x > e^(-(1)/(2))-1


ln(1+x) > 0 ⇔ 1+x > 1 ⇔ x > 0

Tabuliamo i segni:

---(-1)+++(e^(-(1)/(2))-1)+++0+++: (1+x)

---(-1)---(e^(-(1)/(2))-1)+++0+++: 1+2ln(1+x)

---(-1)---(e^(-(1)/(2))-1)---0+++:ln(1+x)


---(-1)+++(e^(-(1)/(2))-1)---0+++:Totale

Mettiamo

(-1, e^(-(1)/(2))-1) U (0,+∞)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, albert99

Re: Risoluzione segno disequazione logaritmica fratta #35950

avt
Ifrit
Amministratore
Scusami Danni, non avevo visto la tua risposta emt
Ringraziano: Omega, Danni

Re: Risoluzione segno disequazione logaritmica fratta #35952

avt
albert99
Banned
Bene, si ragiona per fattori emt

Ok, ora mi è tutto chiaro!

Grazie ragazzi!
Ringraziano: Danni

Re: Risoluzione segno disequazione logaritmica fratta #35958

avt
Danni
Sfera
@ Albert: un termine con denominatore e l'altro no vanno unificati sotto un unico denominatore comune che devi discutere.
Nelle disequazioni puoi omettere solo la discussione di denominatori sicuramente positivi che come tali non influiscono sulla disequazione.
Qui invece devi imporre il denominatore > 0 perché nulla sai del suo segno emt

@ Ifrit: vogliamo fare un conticino e vedere quante risposte ho dato dopo le tue?
Dai che così il Forum si arricchisce. Teniamo valido il leitmotiv di Omega emt
Ringraziano: Ifrit, albert99
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Os