Risoluzione equazione e disequazione con logaritmo

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Risoluzione equazione e disequazione con logaritmo #35817

avt
albert99
Banned
Ciao, ho questa funzione e devo risolvere le corrispondenti equazione e disequazione con logaritmo...La funzione è questa:

f(x) = (x-1)/(x+1)+log_(e)|x|

Dovrei risolvere l'equazione f(x) = 0 e la disequazione f(x) > 0 ma non ne sono capace.

Potreste aiutarmi?

Grazie.
 
 

Risoluzione equazione e disequazione con logaritmo #35823

avt
Omega
Amministratore
Ciao Albert99 emt

L'equazione che proponi è trascendente, e non si può risolvere algebricamente. L'unica cosa che puoi fare è dare una stima delle eventuali soluzioni, e per farlo puoi procedere essenzialmente in due modi:

1) confronto grafico - riscrivi l'equazione

(x-1)/(x+1)+log(|x|) = 0

nella forma

(x-1)/(x+1) = -log(|x|)

e interpretandola come un'uguaglianza tra funzioni

g(x) = h(x)

dove g(x) = (x-1)/(x+1), h(x) = -log(|x|). Poitracci i due grafici: le soluzioni dell'equazione sono le ascisse dei punti di intersezione. Per la disequazione

(x-1)/(x+1)+log(|x|) ≥ 0

passi a

(x-1)/(x+1) ≥ -log(|x|)

g(x) ≥ h(x)

Le soluzioni della disequazione sono dati dagli intervalli delle ascisse dei punti per i quali il grafico di g(x) si trova al di sopra del grafico di h(x).

Immagino che l'accoppiata equazione/disequazione che devi risolvere sia inserita nel contesto di uno studio di funzioni. Nel determinare una stima delle soluzioni, tieni conto del fatto che il grafico che devi tracciare è qualitativo, quindi non è necessario conoscere le soluzioni esatte (anche perché non è possibile emt ).

2) Metodi di approssimazione numerica degli zeri della funzione: bisezione, tangenti...

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Ti consiglio di procedere nel primo modo, cosicché la risoluzione si riduce allo studio delle due funzioni g(h),h(x). Si tratta comunque di funzioni semplici - g(x) è una funzione omografica, mentre puoi disegnare il grafico di h(x) partendo dal grafico del logaritmo naturale e applicando le regole del grafico intuitivo. Alla fine otterrai...

ConfrontograficoequazionedisequazioneAlbert99


A te le conclusioni. emt
Ringraziano: Pi Greco, albert99

Re: Risoluzione equazione e disequazione con logaritmo #35858

avt
albert99
Banned
Grazie, mi hai procurato un ottimo quadro della situazione.

Solo una piccola curiosità riguardo i segni:

se g(x)+h(x) = 0, allora g(x) = -h(x), no?

Ho trovato delle incongruenze nei segni, o interpreto male?
Per il resto, mi è tutto chiaro emt
Ringraziano: Omega

Re: Risoluzione equazione e disequazione con logaritmo #35864

avt
Omega
Amministratore
Dipende tutto dai nomi: nella mia scelta ho chiamato

h(x) = -log(|x|)

solo che ho dimenticato di scrivere il "meno" nella definizione delle due funzioni. Un puro typo, perché poi ho proprio plottato la funzione

h(x) = -log(|x|)

Quindi è tutto ok: correggo il typo, e ti ringrazio per avermelo fatto notare emt
Ringraziano: Pi Greco, albert99
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Os