Integrale del modulo di x sotto radice

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Integrale del modulo di x sotto radice #35225

avt
simonegubo
Punto
Ciao, mi sto impallinando con l'integrale del modulo di x sotto radice e con la funzione segno, e non riesco a venirne a capo:

∫_(-1)^(+1)(sgn(x)√(|x|))dx

Spulciando qua e la e risolvendo con i risolutori online, dovrebbe venire 0 ma non capisco il perché.

Grazie per l'attenzione!
 
 

Integrale del modulo di x sotto radice #35229

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao simonegubo,

ovviamente y = sgn(x) indica la funzione segno.

Un modo furbo per risolvere l'integrale è asserire che, poiché l'integranda è una funzione dispari e l'intervallo di integrazione è simmetrico, allora l'integrale è nullo.

Penso che possa essere didatticamente interessante vedere anche il calcolo manuale.

Vogliamo calcolare l'integrale:

∫_(-1)^(1)sign(x)√(|x|)dx = ∫_(-1)^(0)sign(x)√(|x|)dx+∫_(0)^(1)sign(x)√(|x|)dx

Risolviamo il primo integrale, notando che nell'intervallo di integrazione abbiamo che

sign(x) = -1 se x∈[-1,0)

inoltre, per definizione di valore assoluto:

√(|x|) = √(-x) x∈ [-1,0)

conseguentemente:

 ∫_(-1)^(0)sign(x)√(|x|)dx = ∫_(-1)^(0)-√(-x)dx = [-(2)/(3)x√(-x)]_(-1)^(0) = -(2)/(3)

Risolviamo il secondo integrale:

∫_(0)^(1)sign(x)√(|x|)dx

Nell'intervallo di integrazione abbiamo (0,1]:

 sign(x) = 1 ; √(|x|) = √(x)

pertanto l'integrale può essere espresso come:

 ∫_(0)^(1)sign(x)√(|x|)dx = ∫_(0)^(1)√(x)dx = [(2)/(3)x√(x)]_(0)^(1) = (2)/(3)

In definitiva, mettendo assieme i risultati:

∫_(-1)^(1)sign(x)√(|x|)dx = ∫_(-1)^(0)sign(x)√(|x|)dx (-(2)/(3))+∫_(0)^(1)sign(x)√(|x|) ((2)/(3)) = 0

L'esercizio è terminato.
Ringraziano: Pi Greco, lorenzo45654, simonegubo
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