Dimostrazione del teorema di unicità del limite con gli intorni

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Dimostrazione del teorema di unicità del limite con gli intorni #3382

avt
nea16
Cerchio
Potete spiegarmi la dimostrazione del teorema di unicità del limite per le funzioni mediante gli intorni?

So che la dimostrazione si deve fare per assurdo e poi applicare la definizione di limite, ma non riesco a capire bene che definizione si usa.

Potete spiegarmi tutti i passaggi della dimostrazione per favore? Ho un'esame orale tra poco e devo riuscire a spiegare questo ma prima devo capire.

Grazie mille in anticipo!
 
 

Dimostrazione del teorema di unicità del limite con gli intorni #3420

avt
Omega
Amministratore
Ciao Nea16,

premetto che qui su YM è presente una lezione che tratta l'argomento ed in cui viene enunciato e dimostrato il teorema di unicità del limite per funzioni.

La variante della dimostrazione che richiedi fa uso di una notazione più generale (e quindi in linea di massima preferibile) che però viene utilizzata solamente nel contesto universitario.

Ti consiglio di leggere anche la lezione oltre alla mia risposta, qualora non l'avessi già fatto.

Nel caso delle funzioni, il teorema dell'unicità del limite si enuncia così: sia f:X → R una funzione definita su un insieme X aperto, e supponiamo che x_(0)∈ X sia un punto di accumulazione per X. Allora la funzione non può avere due limiti diversi in x_0.

Vediamo l'idea che sta dietro la dimostrazione: come giustamente fai notare, si giunge alla tesi ragionando per assurdo.

Supponendo che i due limiti siano distinti, dobbiamo giungere ad una contraddizione ragionando sull'intersezione di due intorni del punto x_0 non disgiunti e su due intorni dei due distinti limiti y_1,y_2 che supporremo disgiunti. Lavoriamo quindi in contemporanea sulle preimmagini (cioè con intorni in X) e sulle immagini (cioè con intorni in R)

Ora: la dimostrazione!

Supponiamo che la funzione abbia in x_0 due diversi limiti y_1,y_2; essendo distinti, possiamo prendere due intorni V_1,V_2 dei due limiti considerati, e tali da essere disgiunti: V_1 ∩ V_2 = Ø.

Ora, dato che x_0 è un punto di accumulazione e che la funzione ha limiti y_1,y_2 in corrispondenza di tale punto, possiamo trovare due intorni U_1,U_2 del punto x_0 e tali per cui:

1) per ogni x∈ U_(1) ∩ X e diverso da x_0 risulta che f(x)∈ V_(1);

2) per ogni x∈ U_(2) ∩ X e diverso da x_0 risulta che f(x)∈ V_(2).

I punti 1) e 2) sono naturale conseguenza della definizione di limite. I due intorni U_1,U_2 dipendono dalla previa scelta degli intorni V_1,V_2.

Essendo U_1,U_2 intorni del punto x_0, la loro intersezione è non vuota, ed essendo x_0 un punto di accumulazione, abbiamo almeno un punto di X (e quindi infiniti) che ricadono in tale intersezione.

Prendendo quindi un qualsiasi x∈ U_1 ∩ U_2 risulta che:

- da una parte f(x)∈ V_1 poiché in particolare x∈ U_1;

- dall'altra f(x)∈ V_2 poiché in particolare x∈ U_2.

Abbiamo la contraddizione: V_1 ∩ V_2 = Ø per ipotesi d'assurdo e V_1 ∩ V_2 ≠ Ø per quanto appena visto.

Il limite dunque è unico!
Ringraziano: frank094, Ifrit, nea16, CarFaby, robb22
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