Dimostrazione del teorema di unicità del limite con gli intorni

Potete spiegarmi la dimostrazione del teorema di unicità del limite per le funzioni mediante gli intorni?

So che la dimostrazione si deve fare per assurdo e poi applicare la definizione di limite, ma non riesco a capire bene che definizione si usa.

Potete spiegarmi tutti i passaggi della dimostrazione per favore? Ho un'esame orale tra poco e devo riuscire a spiegare questo ma prima devo capire.

Grazie mille in anticipo!

Ciao Nea16,

premetto che qui su YM è presente una lezione che tratta l'argomento ed in cui viene enunciato e dimostrato il teorema di unicità del limite per funzioni.

La variante della dimostrazione che richiedi fa uso di una notazione più generale (e quindi in linea di massima preferibile) che però viene utilizzata solamente nel contesto universitario.

Ti consiglio di leggere anche la lezione oltre alla mia risposta, qualora non l'avessi già fatto.

Nel caso delle funzioni, il teorema dell'unicità del limite si enuncia così: sia una funzione definita su un insieme aperto, e supponiamo che sia un punto di accumulazione per . Allora la funzione non può avere due limiti diversi in .

Vediamo l'idea che sta dietro la dimostrazione: come giustamente fai notare, si giunge alla tesi ragionando per assurdo.

Supponendo che i due limiti siano distinti, dobbiamo giungere ad una contraddizione ragionando sull'intersezione di due intorni del punto non disgiunti e su due intorni dei due distinti limiti che supporremo disgiunti. Lavoriamo quindi in contemporanea sulle preimmagini (cioè con intorni in ) e sulle immagini (cioè con intorni in )

Ora: la dimostrazione!

Supponiamo che la funzione abbia in due diversi limiti ; essendo distinti, possiamo prendere due intorni dei due limiti considerati, e tali da essere disgiunti: .

Ora, dato che è un punto di accumulazione e che la funzione ha limiti in corrispondenza di tale punto, possiamo trovare due intorni del punto e tali per cui:

1) per ogni e diverso da risulta che ;

2) per ogni e diverso da risulta che .

I punti 1) e 2) sono naturale conseguenza della definizione di limite. I due intorni dipendono dalla previa scelta degli intorni .

Essendo intorni del punto , la loro intersezione è non vuota, ed essendo un punto di accumulazione, abbiamo almeno un punto di (e quindi infiniti) che ricadono in tale intersezione.

Prendendo quindi un qualsiasi risulta che:

- da una parte poiché in particolare ;

- dall'altra poiché in particolare .

Abbiamo la contraddizione: per ipotesi d'assurdo e per quanto appena visto.

Il limite dunque è unico!