Carattere di un integrale improprio con parametro

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Carattere di un integrale improprio con parametro #31225

avt
Val
Punto
Ciao! qualcuno può aiutarmi con la risoluzione di tale esercizio?

Mi è richiesto di studiare il carattere di un integrale improprio dipendente da un parametro:

\int_{0}^{+\infty}\frac{\log(1+\sqrt{x})}{x^{\alpha}}dx

al variare del parametro \alpha.
 
 

Carattere di un integrale improprio con parametro #31322

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'integrale improprio con parametro

\int_{0}^{+\infty}{\frac{\log{(1+\sqrt{x})}}{x^{\alpha}}dx}

e iniziamo lo studio della convergenza nell'intorno destro di x=0 - Si può ricorrere agli sviluppi di Taylor arrestati al primo ordine, ossia è sufficiente ricorrere all'equivalenza asintotica data dal limite notevole del logaritmo:

\frac{\log_{(1+\sqrt{x})}}{x^{\alpha}}\sim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{x^{\alpha}}=\frac{1}{x^{\alpha-\frac{1}{2}}}

Per il teorema del confronto asintotico (con gli integrali impropri notevoli) abbiamo convergenza per \alpha-\frac{1}{2}<1, vale a dire per \alpha<\frac{3}{2}.

Studio della convergenza nell'intorno di x=+\infty - l'equivalenza asintotica da sfruttare è automatica

\frac{\log{(1+\sqrt{x})}}{x^{\alpha}}\sim_{x\to +\infty}\frac{\log{\sqrt{x}}}{x^{\alpha}}=\frac{1}{x^{\alpha}[\frac{1}{2}\log{(x)}]^{-1}}

e i valori di convergenza sono indicati nella tabella del link precedente. Convergenza per \alpha>1.

Sistema tra le due condizioni di convergenza: l'integrale improprio converge per

\alpha\in \left(1,\frac{3}{2}\right).
Ringraziano: Pi Greco, 21zuclo, formodeath, CarFaby, assodiquadri, gigioz, Mark_Knopfler
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