Intervalli di monotonia di una funzione con arcotangente e radice

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Intervalli di monotonia di una funzione con arcotangente e radice #3115

avt
Ifrit
Amministratore
Nella sezione FLTD, Cico87 pone una domanda in merito agli intervalli di monotonia di una funzione con arcotangente e radice.

La domanda è la seguente:

Devo studiare la monotonia della seguente funzione con arcotangente e radice:

\arctan(x-3)-\sqrt{\frac{x}{2}}

La derivata risulta:

f'(x)=\frac{1}{x^2-6x+10}-\frac{1}{2\sqrt{2x}}

Ora per calcolare gli intervalli di monotonia non riesco a risolvere la disequazione.

Potreste gentilmente farmi vedere i passaggi per determinare gli intervalli di monotonia?

Grazie


Qui trovate la discussione originale.

Ci ho pensato non poco ma non ho idee per risolvere il dilemma, voi come procedereste? Che il brainstorming sia con noi!!
 
 

Intervalli di monotonia di una funzione con arcotangente e radice #3119

avt
Omega
Amministratore
Avrei un'ideuzza. emt Riscriviamo la derivata prima come (chiamo la funzione di cui dobbiamo studiare la monotonia yh(x))

h'(x)=\frac{2\sqrt{2x}-x^2+6x-10}{2\sqrt{2x}(x^2-6x+10)}

e studiamone il segno con il confronto grafico. Concentriamoci sul numeratore

2\sqrt{2x}-x^2+6x-10\geq 0

i.e.

2\sqrt{2x}\geq x^2-6x+10

che riscriviamo come funzioni

f(x)\geq g(x)

La funzione di destra è una parabola rivolta verso l'alto con vertice

V=(3,1)

Ora: la funzione f(x)=2\sqrt{2x} quanto vale in x=3. Più o meno f(3)=2\sqrt{6}\simeq 4,89, ma comunque

f(3)>g(3)

Ci sono allora due punti in cui la parabola g(x) interseca il grafico della funzione f(x), per simmetria e tenendo conto del fatto che la funzione f(x) è monotona crescente. Attenzione: i due punti di intersezione NON sono simmetrici rispetto all'asse x=3!

Chiamando tali punti x_1,x_2 abbiamo che il numeratore è positivo, cioè la disequazione f(x)\geq g(x) ha soluzione, per

x_1\leq x\leq x_2

Il denominatore della disequazione del segno della derivata prima, invece, è sempre positivo sul dominio della funzione. Quindi concludiamo che in
x=x_1 la funzione y=h(x) ha un minimo, mentre in x=x_2 la funzione ha un massimo.

Si può poi dare una stima di questi punti, ma non credo sia importante in uno studio qualitativo della monotonia. Questa è onestamente la prima idea che mi è venuta in mente, ma magari c'è un modo più elegante di procedere, tu che dici Ifrit?
Ringraziano: Ifrit

Intervalli di monotonia di una funzione con arcotangente e radice #3121

avt
Ifrit
Amministratore
Che è un'ottima analisi! Grazie mille Omega emt
Quello che mi lascia perplesso è la poca tangibilità (passatemi il termine) dei punti di massimo o di minimo, tra l'altro richiesti dall'esercizio.
Probabilmente dovremmo utilizzare Bolzano dopo... Grazie ora sono convinto!
Ringraziano: Omega

Intervalli di monotonia di una funzione con arcotangente e radice #3124

avt
Omega
Amministratore
Ifrit ha scritto:
Probabilmente dovremmo utilizzare Bolzano dopo

Credo che sia opportuno, ammetto di avere fatto il bigione... emt però davvero niente male come esercizio sullo studio della monotonia, se poi è inserito nel contesto di uno studio completo della funzione, che dire: acciderbulis! emt
Sentiamo cosa ci dice Cico87, se ci dice di procedere allora mi rimbocco le maniche e Bolzaneggio. emt
Ringraziano: Ifrit

Intervalli di monotonia di una funzione con arcotangente e radice #3125

avt
Ifrit
Amministratore
Nono, non ti preocupare, hai già il tuo bel daffare emt. Intanto aspettiamo cico.

Certo che come studio di funzione dato ad un esame... è angosciante... emt
Ringraziano: Omega
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Os