Limite di una funzione con limiti notevoli e semplificazioni

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Limite di una funzione con limiti notevoli e semplificazioni #30268

avt
lordkenit
Punto
Salve a tutti, spero voi mi sappiate aiutare con un esercizio sul limite di una funzione, il seguente

\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2x}{\sqrt{2x^2+7}-3x}

Il limite va risolto con limiti notevoli, semplificazioni ecc. io sono capace se ho una radice meno uno sopra e sotto che basta raccogliere e ti ritrovi con un limite notevole:

\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^a-1}{x}  = a

Ho allegato la foto dell'esercizio. E' quello nominato L2 del primo esercizio. Spero poi che quelli successivi siano di uguale risoluzione.

Grazie anticipatamente
 
 

Re: Limite di una funzione con limiti notevoli e semplificazioni #30274

avt
Ifrit
Amministratore
Il limite si può calcolare mediante il limite notevole associato alla potenza di binomio, ma in questa occasione lo calcoleremo razionalizzando a dovere.

Consideriamo il limite

\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x^2+3}-2x}{\sqrt{2 x^2+7}-3x}=(\bullet)

che genera una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right].

Tale forma di indecisione può essere risolta razionalizzando il numeratore moltiplicando e dividendo per

(\sqrt{x^2+3}+2x)

così che il limite diventi

(\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{(\sqrt{x^2+3}-2x)\cdot(\sqrt{x^2+3}+2x)}{(\sqrt{2 x^2+7}-3x)(\sqrt{x^2+3}+2x)}=

In accordo con la regola sul prodotto di una somma per una differenza scriviamo

=\lim_{x\to 1}\frac{(\sqrt{x^2+3})^2-(2x)^2)}{(\sqrt{2 x^2+7}-3x)(\sqrt{x^2+3}+2x)}=

Tenendo conto che l'azione del quadrato fa sparire la radice quadrata, svolgiamo con calma i calcoli, stando attenti a sommare correttamente i termini simili

\\ =\lim_{x\to 1}\frac{(\sqrt{x^2+3})^2-(2x)^2}{(\sqrt{2 x^2+7}-3x)(\sqrt{x^2+3}+2x)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 1}\frac{x^2+3-4x^2}{(\sqrt{2 x^2+7}-3x)(\sqrt{x^2+3}+2x)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 1}\frac{-3x^2+3}{(\sqrt{2 x^2+7}-3x)(\sqrt{x^2+3}+2x)}=(\bullet\bullet)

A questo punto razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo per

(\sqrt{2x^2+7}+3x)

così da ottenere il limite equivalente

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 1}\frac{(-3x^2+3)(\sqrt{2x^2+7}+3x)}{(\sqrt{2 x^2+7}-3x)(\sqrt{2x^2+7}+3x)(\sqrt{x^2+3}+2x)}=

Eseguiamo con calma i calcoli, eseguendo la moltiplicazione al denominatore:

\\ =\lim_{x\to 1}\frac{(-3x^2+3)(\sqrt{2x^2+7}+3x)}{\left((\sqrt{2 x^2+7})^2-(3x)^2\right)(\sqrt{x^2+3}+2x)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 1}\frac{(-3x^2+3)(\sqrt{2x^2+7}+3x)}{\left(2x^2+7-9x^2\right)(\sqrt{x^2+3}+2x)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 1}\frac{(-3x^2+3)(\sqrt{2x^2+7}+3x)}{\left(7-7x^2\right)(\sqrt{x^2+3}+2x)}=

Al numeratore possiamo raccogliere totalmente il fattore comune 3, mentre al denominatore possiamo raccogliere 7

=\lim_{x\to 1}\frac{3(-x^2+1)(\sqrt{2x^2+7}+3x)}{7\left(1-x^2\right)(\sqrt{x^2+3}+2x)}=

in questo modo possiamo semplificare (1-x^2) e scrivere il limite nella forma equivalente

=\lim_{x\to 1}\frac{3(\sqrt{2x^2+7}+3x)}{7(\sqrt{x^2+3}+2x)}=

Abbiamo praticamente concluso: è sufficiente utilizzare l'algebra dei limiti e procedere per sostituzione diretta

=\frac{3(\sqrt{2\cdot 1^2+7}+3\cdot 1)}{7(\sqrt{1^2+3}+2\cdot 1)}=\frac{3(3+3)}{7(2+2)}=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, kelia
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Os