Integrale definito, esercizio

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Integrale definito, esercizio #29947

avt
veee
Cerchio
Salve a tutti,

non so come risolvere un esercizio con un integrale definito:

∫_(e)^(e^3)((log(|x|))/(2x)-(1)/(x))dx

Se qualcuno mi aiuta con l'integrale indefinito dopo la parte definita la faccio da sola..ma non riesco proprio a risolverlo!!!

Grazie in anticipo emt
 
 

Integrale definito, esercizio #29967

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, per prima cosa osserva che nell'intervallo di integrazione [e, e^3] la funzione

ln|x| = ln(x)

proprio perché il valore assoluto non serve se l'argomento è positivo dunque: |x| = x quando x∈[e, e^3].

L'integrale da risolvere diventa quindi:

 ∫_(e)^(e^3)((ln(x))/(2x)-(1)/(x))dx =

che grazie alle proprietà degli integrali diventa:

= ∫_(e)^(e^3)(ln(x))/(2x)dx-∫_(e)^(e^3)(1)/(x)dx

Risolviamo il primo integrale:

∫_(e)^(e^3)(ln(x))/(2x)dx

procedendo con il metodo di integrazione per sostituzione. Poniamo

t = ln(x) ⇒ dt = (1)/(x)dx

Gli estremi di integrazione diventano quindi:

 t_1 = ln(e) = 1 ; t_2 = ln(e^3) = 3

Grazie alla sostituzione l'integrale diventa:

∫_(1)^(3)(t)/(2)dt = [(t^2)/(4)]_(1)^3 = (9)/(4)-(1)/(4) = 2

Il primo integrale è a posto, occupiamoci del secondo osservando che è un integrale immediato

 ∫_(e)^(e^3)(1)/(x)dx = [ln(x)]_(e)^(e^3) = ln(e^(3))-ln(e) = 3-1 = 2

Osserviamo che per calcolare i valori ln(e^(3)) e ln(e) abbiamo fatto uso delle proprietà dei logaritmi.

In definitiva

∫_(e)^(e^3)((ln(x))/(x)-(1)/(x))dx = 2-2 = 0

Se hai domande, dubbi sai cosa fare. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, veee
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Os