Serie numerica con seno e (-1)^n

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Serie numerica con seno e (-1)^n #29758

avt
sbarb
Punto
Ho l'esame fra una settimana e non riesco a risolvere questo esercizio su una serie numerica con seno e un termine (-1)^n.

Devo determinare se la serie numerica converge o diverge. Vi ringrazio in anticipo e spero di aver scritto bene il testo.

\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin{\left(n\right)}}{3n^{2}-(-1)^{n}n}}
 
 

Serie numerica con seno e (-1)^n #29773

avt
danieleee
Cerchio
è una serie a termini non costanti quindi i metodi con i quali procedere sono 2: o con la convergenza assoluta o con il criterio di leibniz. meglio aspettare la risposta sicuramente più dettagliata di qualche moderatore però emt
Ringraziano: sbarb

Serie numerica con seno e (-1)^n #29781

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti emt

Direi che il suggerimento di Danieleee, e in particolare lo studio della convergenza assoluta della serie, è un ottimo metodo e permette di concludere senza troppi sforzi che la serie proposta converge.

Studiamo la convergenza della serie

\sum_{n=1}^{+\infty}{\left|\frac{\sin{(n)}}{3n^2-(-1)^nn}\right|}

se tale serie converge, la serie iniziale (senza modulo) converge: la convergenza assoluta implica infatti la convergenza semplice, per serie numeriche.

Consideriamo

\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{|\sin{(n)}|}{|3n^2-(-1)^nn|}}

il denominatore è una quantità positiva per ogni indice n: il modulo non serve.

\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{|\sin{(n)}|}{3n^2-(-1)^nn}}

Il seno è una funzione limitata tra [-1,+1]: criterio del confronto, maggioriamo il termine generale della serie con

\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{3n^2-(-1)^nn}}

Quest'ultima è asintoticamente equivalente (criterio del confronto asintotico) a

\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{3n^2}}=3\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^2}}

che converge - è infatti un multiplo della serie armonica con esponente maggiore di 1.

La serie data converge sia assolutamente che semplicemente.

[Mod] @Sbarb: dalla prossima discussione usa titoli più specifici, grazie. Per questa volta modifico io il titolo della discussione. [/Mod]
Ringraziano: Pi Greco, 21zuclo, sbarb, CarFaby, marty.

Re: Serie numerica con seno e (-1)^n #29784

avt
Angelo
Punto
Scusate se intervengo ma con la volontà di chiarirmi i concetti scrivo come avrei risolto la serie io:

In questo caso 0<senn<1(con i maggiori che non capisco come si inseriscono)

moltiplico tutto per 1/[3n^2-(-1)^n] e come risultato ho

0<senn<1/[3n^2-(-1)^n].

Studio il carattere della serie \sum_{i=1}^{N}{1/[3n^2-(-1)^n]}.

Uso Riemann e moltiplico per n^2 ottenendo \sum_{i=1}^{N}{1/[3-(-1)^n/n]}.

Faccio il limite ed esso mi uscira 1/3. Poichè è finito e p>1 la serie converge.

Grazie in anticipo delle risposte. emt

Edit= Ho scritto in modo ordinato cosi Omega non si sforza ad ordinare emt

Re: Serie numerica con seno e (-1)^n #29790

avt
Omega
Amministratore
Occhio: la validità del ragionamento viene meno alla terza riga

0\leq \sin{(n)}\leq 1

Senza modulo non vale, è piuttosto

-1\leq \sin{(n)}\leq 1
Ringraziano: Angelo, CarFaby

Re: Serie numerica con seno e (-1)^n #29794

avt
Angelo
Punto
Omega ha scritto:
Occhio: la validità del ragionamento viene meno alla terza riga

0\leq \sin{(n)}\leq 1

Senza modulo non vale, è piuttosto

-1\leq \sin{(n)}\leq 1


Si scusami hai ragione. Per il resto va bene?

Re: Serie numerica con seno e (-1)^n #29904

avt
Omega
Amministratore
No, perché venendo meno la validità dell'incipit dello svolgimento...tutto il resto del ragionamento non può funzionare. emt
Ringraziano: Angelo

Re: Serie numerica con seno e (-1)^n #29907

avt
Angelo
Punto
Cioè se io aggiusto il mio ragionamento con la tua giusta osservazione è tutto giusto? emt

Re: Serie numerica con seno e (-1)^n #29940

avt
Omega
Amministratore
No, perché finiresti con l'avere una quantità che oscilla tra valori negativi e valori positivi: dovresti dimostrare che entrambe le serie convergono (sia quella maggiorante che quella minorante), e il procedimento sarebbe terribilmente più lungo del necessario.

E' proprio da qui che nasce l'esigenza di considerare il modulo del termine generale della serie. emt
Ringraziano: CarFaby

Re: Serie numerica con seno e (-1)^n #29977

avt
Angelo
Punto
Omega ha scritto:
No, perché finiresti con l'avere una quantità che oscilla tra valori negativi e valori positivi: dovresti dimostrare che entrambe le serie convergono (sia quella maggiorante che quella minorante), e il procedimento sarebbe terribilmente più lungo del necessario.

E' proprio da qui che nasce l'esigenza di considerare il modulo del termine generale della serie. emt


Scusami omega ma è pur vero che poi avrei che il seno oscilla tra valori negativi e positivi ma è anche vero che a me basta dimostrare che c'e un maggiorante convergente affinché la parte centrale sia convergente.

Grazie per le risposte
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Os