Limite con forma indeterminata 0/0 e funzioni iperboliche

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Limite con forma indeterminata 0/0 e funzioni iperboliche #27845

avt
Sharpie
Cerchio
Buonasera a tutti,

scusatemi se apro un altro topic nello stesso giorno ma ho bisogno di aiuto, l'esame di Analisi si avvicina.

Passo al dunque: ho un limite che genera una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] con funzioni iperboliche, del tipo

\lim_{x\to \inf}{\frac{\arctan(x)\ln(\tanh(x))}{\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}\arctan(\tanh(x)-1)}}

e che si presenta, appunto, in forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right].

Come potrei risolvere? Questo esercizio fa parte di una tipologia di esercizi proposti dal testo in cui si deve dividere e moltiplicare per opportune quantità in modo da far "comparire" dei prodotti tra limiti fondamentali e fattori non nulli. Ad esempio, come potrei far comparire un -1 nell'argomento del logaritmo per sfruttare il limite notevole del logaritmo?
 
 

Limite con forma indeterminata 0/0 e funzioni iperboliche #27849

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Sharpie,

prendiamo in esame il limite

\lim_{x\to +\infty}\frac{\arctan(x)\ln(\tanh(x))}{\cos\left(\frac{1}{x}\right)\arctan(\tanh(x)-1)}=(\bullet)

che genera la forma di indecisione \left[\frac{0}{0}\right]. Al fine di risolverla, esprimiamo il limite come prodotto di limiti. Più precisamente faremo in modo che nel primo limite ci siano esclusivamente le funzioni che non generano la forma di indecisione ossia la funzione arcotangente e la funzione coseno, infatti:

\\ y=\arctan(x)\to \frac{\pi}{2}\ \ \mbox{per} \ \ x\to +\infty \\ \\ y=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\to 1 \ \ \mbox{per} \ \ x\to +\infty

In questo modo possiamo esprimere il limite di partenza come segue

(\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\arctan(x)}{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(\tanh(x))}{\arctan(\tanh(x)-1)}

Il primo limite è immediato infatti

\lim_{x\to +\infty}\frac{\arctan(x)}{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}=\frac{\pi}{2}

Analizziamo il secondo limite

\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(\tanh(x))}{\arctan(\tanh(x)-1)}=(\bullet\bullet)

che possiamo calcolare riconducendoci al limite notevole del logaritmo

\lim_{h(x)\to 0}\frac{\ln(1+h(x))}{h(x)}=1

applicabile nel momento in cui l'argomento del logaritmo tende a 1.

Sommiamo e sottraiamo 1 nell'argomento del logaritmo:

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(\tanh(x)-1+1)}{\arctan(\tanh(x)-1)}=

A questo punto poniamo t=\tanh(x)-1 ed osserviamo che quando x\to +\infty la tangente iperbolica tende a 1, pertanto t\to 0.

Grazie a tale sostituzione il limite si esprime nella forma equivalente

=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(t+1)}{\arctan(t)}=(\bullet\bullet\bullet)

In accordo con il limite notevole del logaritmo e con quello dell'arcotangente, possiamo esprimere le seguenti relazioni asintotiche

\\ \ln(t+1)\sim_{t\to 0} t\\ \\ \arctan(t)\sim_{t\to 0} t

mediante le quali passiamo al limite equivalente

(\bullet\bullet\bullet)=\lim_{t\to 0}\frac{t}{t}=1

In definitiva, il secondo limite nel prodotto vale 1

\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(\tanh(x))}{\arctan(\tanh(x)-1)}=1

e pertanto concludiamo che il limite iniziale vale \frac{\pi}{2}

\overbrace{\lim_{x\to +\infty}\frac{\arctan(x)}{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}}^{=\frac{\pi}{2}}\overbrace{\lim_{x\to \infty}\frac{\ln\tanh(x)}{\arctan(\tanh(x)-1)}}^{=1}=\frac{\pi}{2}

Fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Sharpie

Re: Limite con forma indeterminata 0/0 e funzioni iperboliche #27859

avt
Sharpie
Cerchio
Gentilissimo, grazie mille! emt
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Os