Dire se una serie converge o diverge, serie fratta con seno

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Dire se una serie converge o diverge, serie fratta con seno #26761

avt
anto_nellyna
Banned
Ciao ragazzi, mi servirebbe un aiuto per dire se una serie fratta con seno converge o diverge. Allora ho la seguente serie

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{n(n+1)}

Ho provato a studiare la convergenza calcolando il

\lim_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}

ovvero

\lim_{n\to +\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{n+1}\right)}{(n+1)(n+2)}\cdot \frac{n(n+1)}{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}

semplifico (n+1) e mi dovrei trovare con infinito su infinito. Qui non so più come procedere...
 
 

Dire se una serie converge o diverge, serie fratta con seno #26765

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Anto_nellyna emt

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{n(n+1)}

il criterio del rapporto fallisce miseramente di fronte a questa serie, così come il criterio della radice n-esima.

\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}=1

che è il caso dubbio, non ci dà informazioni sulla convergenza o sulla divergenza di questa serie.

Io propongo il criterio del confronto. Osserva che:

1) la serie è a termini positivi.

2) \sin\left(\frac{1}{n}\right)\le 1

quindi

\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{n(n+1)}\le\frac{ 1}{n(n+1)}

Ora

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}

converge perché il termine n-esimo si comporta asintoticamente come \frac{1}{n^2} (qui in pratica si applica il criterio del confronto asintotico con la serie armonica convergente).

Possiamo concludere che a serie di partenza converge! emt
Ringraziano: Pi Greco, josel, CarFaby, grumpy, Guscio
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Os