Serie svolta con criterio del confronto, ln(n)/n

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Serie svolta con criterio del confronto, ln(n)/n #26456

avt
MaryADC90
Frattale
Ciao ragazzi, facendo degli esercizi sulle serie mi sono imbattuta in un esercizio in cui ho la serie di ln(n)/n svolta con il criterio del confronto.

Posto qui di seguito la traccia e lo svolgimento:

\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{\ln{n}}{n}}


Poichè \forall n>3,\ln{n}>1, si ha che:

\frac{\ln{n}}{n}>\frac{1}{n}

dunque la nostra serie è una maggiorante di una serie divergente, e pertanto diverge.

E' chiaro perché la serie sia una maggiorante, ma perché lo è proprio di \frac{1}{n}? Perché ha scelto proprio quella serie per fare il confronto?

Insomma il problema resta lo stesso: in base a quali criteri dovrei scegliere la serie adatta con cui fare il confronto?

Grazie e scusate emt
Ringraziano: turiddu91
 
 

Serie svolta con criterio del confronto, ln(n)/n #26534

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mary emt

Torniamo per un attimo a questa discussione sul procedimento per lo studio del carattere di una serie numerica (click). Facciamo riferimento, in particolare, al messaggio 23608 e al punto 2) dell'elenco della mia risposta:

il criterio del confronto e quello del confronto asintotico si basano sul seguente principio: ricondurre la nostra serie, per maggiorazioni/minorazioni o per equivalenze asintotiche, ad una serie di cui è noto il carattere.

Il primo passo è dunque prendere confidenza, a poco a poco, con le serie notevoli.

Il secondo passo consiste nell'allenare l'occhio e vedere se la serie assegnata è riconducibile ad una serie notevole. Pur sembrando una cosa complicata, in realtà non è così, perché tutto quello che puoi fare è procedere per maggiorazioni/minorazioni o equivalenze asintotiche per successioni. Non preoccuparti se per il momento non è un automatismo, verrà da sé con la pratica. emt

Nell'esempio considerato abbiamo una serie che assomiglia, in qualche modo, ad una serie armonica (per quel termine n che si trova a denominatore), dunque l'istinto suggerisce di ricondursi, in qualche modo, alla serie armonica.

Un consiglio: non partire dal presupposto di riuscire a risolvere ogni esercizio al primo tentativo. Sapessi quante volte capita di dover provare in quattro modi diversi...emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, MaryADC90, CarFaby

Serie svolta con criterio del confronto, ln(n)/n #26586

avt
MaryADC90
Frattale
Incredibile ma vero: ho visto adesso per puro caso la tua risposta perchè... non mi era arrivata alcuna notificazione! emt
In pratica, la cosa sta in questi termini:

1. Devo riflettere un attimo su quale possa essere la serie notevole a cui la mia serie potrebbe somigliare;
2. Devo procedere per opportune trasformazioni per "avvicinare" la mia serie a quella notevole cercata (in modo tale che la mia serie abbia lo stesso comportamento asintotico della serie notevole).

Giusto?

Questo se utilizzo il criterio del confronto asintotico... Se invece uso quello di confronto normale, allora devo vedere la mia serie come una maggiorazione o minorazione di un'altra serie... e allora la mia serie sarà convergente, divergente o indeterminata a seconda del carattere dell'altra serie...

Ci sono? emt

Serie svolta con criterio del confronto, ln(n)/n #26615

avt
Omega
Amministratore
Per quanto riguarda le notifiche, prova a dare un'occhiata ne "La bacheca di YouMath" -> "A cosa sta lavorando lo Staff".

Per il resto, ci sei quasi su tutto:

1 - occhio che il criterio del confronto asintotico impone che la serie sia a termini positivi (o eventualmente a termini negativi, al che puoi ricondurti ad una serie a termini positivi raccogliendo un meno);

2 - il criterio del confronto non permette di risalire all'eventuale carattere irregolare o oscillante della serie data, ma la convergenza e la divergenza le dimostra in totale tranquillità. emt
Ringraziano: MaryADC90
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Os