Equazione differenziale del primo ordine - problema di Cauchy

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Equazione differenziale del primo ordine - problema di Cauchy #24550

avt
terk23
Banned
Ciao a tutti, non riesco a risolvere un problema di Cauchy con un'equazione differenziale del primo ordine: come risolvere l'equazione differenziale del primo ordine (problema di Cauchy) come quella sotto indicata? Mi spiegate per favore passo per passo come risolverla?

{y'=2t(y^2)

{y(0)=-1 oppure y(0)=0

Grazie a chi mi risponderà

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Ringraziano: Sergente
 
 

Equazione differenziale del primo ordine - problema di Cauchy #24555

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao terk23 emt

[mod]Gentilmente osserva le regole del forum, un saluto, un grazie, sono sempre bene accetti emt[/mod]

Iniziamo emt

Dobbiamo risolvere il problema di Cauchy:

y'= 2ty^2 ; y(0) = 0

Per prima cosa notiamo che l'equazione differenziale che interviene nel problema di Cauchy è a variabili separabili.

y'= a(t)b(y)

dove a(t) = 2t, b(y) = y^2

Le funzioni che intervengono sono continue e derivabili con derivata continua in tutto R. Di conseguenza viene soddisfatto il teorema di esistenza e di unicità locale del problema di Cauchy.

Determiniamo le soluzioni stazionare imponendo l'equazione b(y) = 0 ⇔ y^2 = 0 ⇔ y = 0

La soluzione stazionaria dell'equazione differenziale è y(t) = 0 ed è anche soluzione del problema di Cauchy giacché soddisfa la condizione iniziale. L'unica soluzione del problema di Cauchy è quindi y(t) = 0


Adesso consideriamo il secondo problema di Cauchy:

y'= 2t y^2 ; y(0) = -1

La soluzione stazionaria y(t) = 0 non soddisfa la condizione iniziale e di conseguenza non soddisfa il problema di Cauchy.


Dobbiamo studiare l'equazione differenziale per t∈R e per y∈ (-∞, 0) oppure y∈ (0, ∞)

Poiché y(0) = -1∈ (-∞, 0), la nostra y sarà minore di 0.


Separiamo le variabili:

∫ (y'(t)dt)/(y^2(t))dt = ∫ 2tdt

Poniamo z = y(t) ⇒ dz = y'(t)dt, l'integrale al primo membro diventa:

∫ (dz)/(z^2) = -(1)/(z)+c_1

Quindi:

∫ (y'(t)dt)/(y^2(t))dt = -(1)/(y(t))+c_1

L'integrale al secondo membro è immediato:

∫ 2t dt = t^2+c_2

Imponendo l'uguaglianza otterremo:

-(1)/(y(t)) = t^2+k

Imponiamo la condizione iniziale:

-(1)/(y(0)) = k ⇔ k = 1

La precedente equazione diventa quindi:


-(1)/(y(t)) = t^2+1

Cambiamo segno membro a membro:

(1)/(y(t)) = -t^2-1

Passiamo ai reciproci membro a membro:

y(t) = (1)/(-t^2-1)

è la soluzione del problema di Cauchy emt


Se hai domande sono qui
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094

Re: Equazione differenziale del primo ordine - problema di Cauchy #24565

avt
terk23
Banned
Grazie! Sei stato molto gentile, penso di aver capito..

Re: Equazione differenziale del primo ordine - problema di Cauchy #24570

avt
terk23
Banned
Potresti cortesemente darmi una mano anche con quest'altro problema di Cauchy?

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Grazie mille in anticipo

Re: Equazione differenziale del primo ordine - problema di Cauchy #24574

avt
Ifrit
Amministratore
Ti prego di scusarmi del ritardo nella risposta, potresti aprire una nuova discussione per favore? Grazie emt
Ringraziano: Omega
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Os