Calcolo di limiti di funzioni fratte

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Calcolo di limiti di funzioni fratte #24102

avt
lizzi
Punto
Ciao ragazzi ho dei dubbi riguardo il calcolo dei seguenti limiti di funzioni fratte, potreste aiutarmi? Grazie!

(a) \ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2)-x^3\sin(x)}{\sqrt{x}-x} \\ \\ \\ (b) \ \lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x}-\cos(x)-x^3}{x-\ln(x)-2}

Ringrazio anticipatamente.
 
 

Calcolo di limiti di funzioni fratte #24114

avt
Omega
Amministratore
Il primo limite da calcolare è

(a) \ \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(1+x^2)}-x^3\sin{(x)}}{\sqrt{x}-x}}=(\bullet)

e presenta una forma di indecisione \left[\frac{0}{0}\right]. Possiamo cavarcela in tutta tranquillità applicando il limite notevole del logaritmo e dunque ricorrendo alla sostituzione per equivalenza asintotica

\ln(1+x^2)\sim_{x\to 0}x^2

in questo modo possiamo equivalentemente calcolare il limite

(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2-x^3\sin(x)}{\sqrt{x}-x}=(\bullet\bullet)

Stesso discorso per il seno ed il limite notevole del seno mediante il quale costruiamo l'equivalenza

\sin{(x)}\sim_{x\to 0}x

Sostituendo il seno con la sua stima scriveremo il limite come:

(\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{x^2-x^4}{\sqrt{x}-x}=

A questo punto procediamo per confronto tra infinitesimi: sia a numeratore che a denominatore sopravvivono gli infinitesimi di ordine inferiore

=\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sqrt{x}} =

Grazie alle proprietà delle potenze concludiamo pertanto che il limite vale 0

\\ =\lim_{x\to 0}x^{2-\frac{1}{2}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}x^{\frac{3}{2}}=0

Il primo esercizio è concluso.


Per il secondo limite

\lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{-x}-\cos{(x)}-x^3}{x-\ln{(x)}-2}}=

è sufficiente osservare che il coseno è una funzione limitata, quindi possiamo limitarci a considerare gli infiniti presenti a numeratore e denominatore e calcolare, equivalentemente il limite

=\lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{-x}-x^3}{x-\ln{(x)}}}=

Al tendere di x\to +\infty risulta che e^{-x}\to 0

=\lim_{x\to +\infty}{\frac{-x^3}{x-\ln{(x)}}}=

Il termine lineare x è un infinito di ordine superiore rispetto a \ln{(x)}

=\lim_{x\to +\infty}{\frac{-x^3}{x}}=

x^{3} è un infinito di ordine superiore rispetto a x al tendere di x\to +\infty

=\lim_{x\to +\infty}{\frac{-x^3}{x}}=-\infty

Tutto quello che ti serve sui limiti (confronto tra infiniti, infinitesimi, limiti notevoli e così via) lo trovi in questa categoria di lezioni.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, lizzi

Calcolo di limiti di funzioni fratte #24121

avt
lizzi
Punto
Ho una domanda: fra e^{-x}\mbox{ e }-x^3 non è più grande e^x?

Cioè

\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x}}{x}=0

Calcolo di limiti di funzioni fratte #24122

avt
Omega
Amministratore
e^{x} lo sarebbe di per certo, e^{-x} invece non è un infinito al tendere di x\to +\infty, bensì un infinitesimo.

Guarda qui, a sinistra nel grafico emt
Ringraziano: Pi Greco, lizzi
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Os