Convergenza di una serie con arcotangente (confronto)

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Convergenza di una serie con arcotangente (confronto) #23486

avt
aristofane
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema con questa serie con un'arcotangente:

\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\arctan(n)}{n^2}:

Viene svolta applicando il teorema del confronto ovvero:

\frac{\arctan(n)}{n^2}\leq \frac{\pi}{2n^2}

e dato che la seconda serie converge, converge la serie di partenza.

Io la svolgerei applicando gli sviluppi in serie di Taylor dell'arcotangente:

\arctan{(n)}=n+o(n)

quindi la serie diverrebbe dell'ordine di \frac{1}{n} quindi divergente; dove sbaglio?

Grazie in anticipo.
 
 

Convergenza di una serie con arcotangente (confronto) #23488

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao aristofane (bel nome! emt)

la stima asintotica \arctan(x)\sim_{0}x vale solo quando x è prossimo allo zero e non quando x tende a più infinito. In questo caso

\arctan(n)\sim n è una stima errata perché n tende a più infinito.

Formalmente:

\arctan(n)\not\sim_{\infty}n

perchè:

\lim_{n\to \infty}\frac{\arctan(n)}{n}=0\ne 1, cioè le due successioni non sono asintoticamente equivalenti.

Per vederlo ti basta tenere a mente il grafico dell'arcotangente, che è limitata nell'intorno di +\infty.

Tutto chiaro? emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, aristofane, CarFaby, zucca86

Convergenza di una serie con arcotangente (confronto) #23490

avt
aristofane
Cerchio
Grazie ora è chiaro! Quindi se avessi avuto \arctan\left(\frac{1}{n}\right) in quel caso avrei potuto dire che è simile a \frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right) ?

Convergenza di una serie con arcotangente (confronto) #23493

avt
Ifrit
Amministratore
Sì potevi farlo emt questo perché l'argomento dell'arcotangente tende a zero quando n tende a più infinito. La stima asintotica funziona! emt
Ringraziano: Omega, aristofane, CarFaby
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Os