Dubbi sull'integrale di Lebesgue

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Dubbi sull'integrale di Lebesgue #22782

avt
paolotesla
Cerchio
Salve ragazzi. Stamattina mentre ripetevo parte della teoria dell'esame di metodi mi sono ritrovato a dover rivedere la teoria di integrazione secondo Lebesgue.

La prima volta che ho affrontato l'argomento non nutrivo questi dubbi in quanto ero più preoccupato di fare uno scritto decente e quindi mi sono concentrato di più sugli esercizi.

Stamane, leggendo con più attenzione ho capito che, in sostanza, la teoria di integrazione secondo Lebesgue nasce dall'impossibilità di integrare funzioni con un numero finito di discontinuità o al più un infinità numerabile (classi di funzioni integrabili secondo Riemann).

Ma ora mi chiedo: perchè non è possibile integrare funzioni con discontinuità? O meglio, con quali tipi di discontinuità?

Ricordo dalla teoria di analisi uno che alcuni tipi di discontinuità erano facilmente eliminabili passando sotto il segno di limite. Siccome i per me i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale sono completamente sconosciuti, qualcuno sarebbe così gentile da farmi capire bene questo punto?

Grazie in anticipo a chi risponderà.
 
 

Re: Dubbi sull'integrale di Lebesgue #22842

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao PaoloTesla,

la domanda è davvero interessante, ma al contempo delicata perché rientriamo in campi della matematica che vengono trattati in modo diverso a seconda del corso di Laurea che si segue.

Leggendo il tuo quesito la prima cosa che mi è venuto in mente è il teorema di Vitali-Lebesgue il quale ci dà la condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione limitata sia Riemann-Integrabile.

Teorema

Sia f:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R} una funzione limitata. f è Riemann integrabile se e solo se l'insieme dei punti di discontinuità D ha misura secondo Lebesgue pari a zero.

Abbiamo così una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione limitata sia Riemann-integrabile, ma attenzione, in questo caso parliamo di funzioni limitate quindi le discontinuità sono a salto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, paolotesla

Re: Dubbi sull'integrale di Lebesgue #22863

avt
paolotesla
Cerchio
Ciao Ifrit!

Ti ringrazio per le delucidazioni, non sapevo dell'esistenza di questo teorema quindi grazie per avermene messo al corrente. Sentivo che c'era qualche ipotesi in più riguardo alle discontinuità, infatti il mio caso è ristretto a quelle di prima specie. Per misura pari a zero secondo Lebesgue credo s'intenda insieme a misura nulla secondo Lebesgue quindi credo di aver capito.

Grazie ancora!

Re: Dubbi sull'integrale di Lebesgue #22864

avt
Ifrit
Amministratore
Sì, intendo dire insieme a misura nulla secondo Lebesgue. Ero convinto che fossi un ingegnere... mi sbaglio? Come mai studiate teoria della misura? Fino a che punto vi siete spinti?
Ringraziano: Omega

Re: Dubbi sull'integrale di Lebesgue #22892

avt
paolotesla
Cerchio
Sì infatti, sono studente al Cdl Ingegneria Biomedica alla Federico II.

Guarda posso solo dirti che il programma di Metodi Matematici arriva fino alle equazioni differenziali alle derivate parziali, quindi anche i problemi di Sturm-Liouville e di Dirichlet ecc... per adesso spero di aver superato lo scritto, e sto preparando l'orale.

A dire la verità sul mio libro c'è ben poco riguardo la misura. Infatti c'è solo un accenno all'integrazione secondo Lebesgue, infatti ciò che trattiamo in sostanza sono trasformate di Laplace, di Fourier e z-trasformate di segnali.

Questa parte su Lebesgue ed anche la parte dell'integrabilità e sommabilità di funzioni è basilare per comprendere le distribuzioni, infatti è proprio quello che sto "studiando" (l'ho messo tra virgolette perché pensavo di sapere abbastanza ma invece mi sono accorto che lo devo ristudiare completamente).

Comunque grazie ancora per l'aiuto. E soprattutto per la disponibilità. Mi complimento per la notevole preparazione.

PS: questo è un esame che nel mio piano studi è di 9 crediti (ma in effetti ne sarebbero di più) ed è propedeutico agli esami: fondamenti di sistemi dinamici e il famigerato teoria dei segnali. Spero solo di non intossicarmi l'estate appresso questo esame...
Ringraziano: Ifrit, domenica.m
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Os