Limiti notevoli e calcolo del limite di una funzione fratta

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Limiti notevoli e calcolo del limite di una funzione fratta #22456

avt
federicoverona
Sfera
In questo esercizio mi chiedono di calcolare il limite di una funzione fratta facendo ricorso ai limiti notevoli:

calcolare il valore del seguente limite utilizzando i limiti notevoli

\lim_{x\to +\ \infty}{\frac{\sqrt[3]{1+e^{-x}}-1}{\sqrt[4]{1+e^{-2x}}-1}}

Quale limite notevole dovrei usare?

Quel "-1" mi fa pensare al limite notevole

\frac{e^{t}-1}{t}\to_{t\to 0} 1

ma non so ne come utilizzarlo qui né se sia giusto utilizzare questo limite notevole.

Grazie a tutti.
 
 

Limiti notevoli e calcolo del limite di una funzione fratta #22471

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Federico,

il limite

\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{1+e^{-x}}-1}{\sqrt[4]{1+e^{-2x}}-1}=(\bullet)

genera la forma di indecisione \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo risolvere mediante una sostituzione che permetta di ricondurci ad un limite notevole.

In questa occasione un'ottima sostituzione è t=e^{-x}: osserviamo che quando x tende a più infinito, la variabile t tende a 0^+.

Inoltre grazie alle proprietà delle potenze possiamo scrivere le seguenti identità

e^{-2x}=(e^{-x})^2= t^2

Sostituendo in modo opportuno, il limite di partenza diventa

(\bullet)=\lim_{t\to 0^+}\frac{\sqrt[3]{1+t}-1}{\sqrt[4]{1+t^2}-1}=(\bullet\bullet)

Con l'intento di ricondurci al limite notevole

\lim_{h(x)\to 0}\frac{(1+h(x))^{\alpha}-1}{h(x)}=\alpha

esprimiamo le radici sotto forma di potenze con esponenti razionali

(\bullet\bullet)=\lim_{t\to 0^+}\frac{(1+t)^{\frac{1}{3}}-1}{(1+t^2)^{\frac{1}{4}}-1}=

Per ricondurci al limite notevole, moltiplichiamo e dividiamo per t

=\lim_{t\to 0^+}\frac{(1+t)^{\frac{1}{3}}-1}{t}\frac{t}{(1+t^2)^{\frac{1}{4}}-1}=

e riscriviamo il limite del prodotto come il prodotto dei limiti:

=\lim_{t\to 0^+}\frac{(1+t)^{\frac{1}{3}}-1}{t}\lim_{t\to 0^+}\frac{t}{(1+t^2)^{\frac{1}{4}}-1}

Il primo limite è \frac{1}{3}, giacché è esattamente il limite notevole con \alpha=\frac{1}{3}.

Il secondo limite non è ancora nella forma richiesta: quello che ci manca è un 2 all'esponente del numeratore. Per farlo apparire, moltiplichiamo e dividiamo per t

\\ \lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t}\cdot\frac{t^2}{(1+t^2)^{\frac{1}{4}}-1}= \\ \\ \\ =\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t}\lim_{t\to 0^+}\frac{t^2}{(1+t^2)^{\frac{1}{4}}-1}

Il primo limite è più infinito, il secondo limite è il reciproco del limite notevole e mettendo assieme le informazioni ottenute concludiamo che il limite di partenza è +\infty

\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt[3]{1+e^{-x}}-1}{\sqrt[4]{1+e^{-2x}}-1}= \left[\frac{1}{3}\cdot 4\cdot +\infty\right]=+\infty

Finito.

Ti suggerisco questa lettura: metodo per usare i limiti notevoli.

Se hai domande, dubbi, fai un fischio.
Ringraziano: Omega, federicoverona

Limiti notevoli e calcolo del limite di una funzione fratta #22473

avt
federicoverona
Sfera
Grazie mille!
Ringraziano: Omega
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Os