Integrale trigonometrico definito

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Integrale trigonometrico definito #22317

avt
spavaldo
Cerchio
Buondì!

Stamattina ho provato a svolgere un integrale trigonometrico definito ma mi sono bloccato subito. L'integrale in questione è:

∫_(0)^(1)(2x+2)arctan(x)dx

Ho spezzato l'integrale definito nella somma di due integrali, e poi ho scritto arctan(x) = (1)/(tan(x)) ma mi sono perso nei calcoli.

Sapete darmi una mano per favore? Grazie.
 
 

Re: Integrale trigonometrico definito #22328

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao spavaldo emt Io consiglio di procedere per parti:

∫_(0)^(1)(2x+2)arctan(x)dx

Scegliamo come fattore finito (da derivare)

f(x) = arctan(x) ⇒ f'(x) = (1)/(1+x^2)

come fattore differenziale (da integrare):

g'(x) = 2x+2 ⇒ g(x) = x^2+2x

Utilizzando la formula di integrazione per parti abbiamo:

∫ (2x+2)arctan(x)dx = (x^2+2x)arctan(x)-∫ (x^2+2x)/(1+x^2)dx

Aggiungiamo e sottraiamo 1 al numeratore della funzione integranda:


= (x^2+2x)arctan(x)-∫ (x^2+1+2x-1)/(1+x^2)dx = (x^2+2x)arctan(x)-∫((x^2+1)/(1+x^2)+(2x)/(x^2+1)-(1)/(1+x^2))dx = (x^2+2x)arctan(x)-∫(1+(2x)/(x^2+1)-(1)/(1+x^2))dx =

Utilizziamo la linearità dell'operatore integrale.


= (x^2+2x)arctan(x)-(∫ dx+∫(2x)/(x^2+1)dx-∫(1)/(1+x^2)dx) = (•)

Ora quelli rimasti sono integrali notevoli:

∫ dx = x+c_1 ; ∫(2x)/(x^2+1)dx = ln|x^2+1|+c_2 = ln(x^2+1)+c_2 ; ∫(1)/(1+x^2)dx = arctan(x)+c_3

di conseguenza:

(•) = (x^2+2x)arctan(x)-x-ln(1+x^2)+arctan(x)+c

con c costante reale additiva.


Dunque per il teorema fondamentale del calcolo integrale:

∫_(0)^(1)(2x+2)arctan(x)dx = (1+2)arctan(1)-1-ln(2)+arctan(1) = 4arctan(1)-1-ln(2) = π-1-ln(2)


Ti faccio notare che:

arctan(x) ne (1)/(tan(x))

L'arcotangente è la funzione inversa della tangente non il reciproco.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, spavaldo, CarFaby, artemides81, Pask, @ngel, Wtfood
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