Funzione integrabile in senso improprio su due intervalli, integrali impropri

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Funzione integrabile in senso improprio su due intervalli, integrali impropri #22186

  • Ihsahn666
  • avt
  • Punto
Ragazzi potreste aiutarmi con un esercizio in cui devo stabilire se una funzione è integrabile in senso improprio e a studiare la convergenza degli integrali impropri su due intervalli?

Devo stabilire se è integrabile la funzione

f(x)=log(x^2 +1)/(e^x -1)

sugli intervalli: ]0,1] e [1,infinito[

Come procedere in casi simili?

Grazie per l'aiuto.

 
 
 

Funzione integrabile in senso improprio su due intervalli, integrali impropri #22210

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Ciao lhsahn666 emt

Il qui presente esercizio ti chiede, con un simpatico giro di parole, di studiare la convergenza degli integrali impropri

\int_{0}^{1}{\frac{\log{(x^2+1)}}{e^{x}-1}dx}

di seconda specie, e

\int_{1}^{+\infty}{\frac{\log{(x^2+1)}}{e^{x}-1}dx}

di prima specie.

Non è possibile determinare una primitiva in forma esplicita e dunque non è possibile valutare la convergenza dei suddetti integrali impropri mediante la definizione. Nessun problema: possiamo fare riferimento ad altri risultati teorici che ci consentiranno, senza troppe difficoltà, di studiare il carattere degli integrali impropri considerati.

Premessa: se vuoi approfondire i metodi di risoluzione di questo tipo di esercizi ti suggerisco di effettuare una ricerca qui su YM: ci sono molti spunti teorici e moltissimi esercizi svolti, più semplici e più complicati di questo. emt

I risultati cui dobbiamo fare riferimento sono il criterio del confronto asintotico e il criterio del confronto, che ci permettono di stabilire se un dato integrale improprio converge o diverge semplicemente dando una stima asintotica e/o una maggiorazione della funzione integranda.

Nell'intorno di quali punti va effettuata la stima asintotica? Come faccio ad effettuare la stima asintotica? Ti suggerisco di dare uno sguardo a questa discussione, è uno dei tanti esempi (click!).

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Integrale improprio

\int_{0}^{1}{\frac{\log{(x^2+1)}}{e^{x}-1}dx}

l'unico punto che genera una discontinuità di seconda specie per la funzione integranda è dato da x=0, per cui valutiamo il comportamento dell'integranda nell'intorno destro di tale punto

\frac{\log{(x^2+1)}}{e^{x}-1}\sim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=x

dove per stimare il numeratore e il denominatore ho fatto uso dei limiti notevoli del logaritmo e dell'esponenziale (quali | come)

La funzione integranda presenta dunque in x=0 un punto di discontinuità di terza specie, è finita nell'intorno di tale punto e l'integrale improprio di seconda specie converge.

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Integrale improprio

\int_{1}^{+\infty}{\frac{\log{(x^2+1)}}{e^{x}-1}dx}

in questo caso dobbiamo stimare il comportamento della funzione nell'intorno di +\infty. Consideriamo l'integranda

\frac{\log{(x^2+1)}}{e^{x}-1}\sim_{x\to +\infty}\frac{\log{(x^2)}}{e^{x}}

dove la stima è stata effettuata osservando che le costanti additive non influiscono in alcun modo sull'ordine degli infiniti

\frac{\log{(x^2)}}{e^{x}}=\frac{2\log{x)}}{e^x}\leq_{x\to +\infty}\frac{x}{e^{x}}

dove la maggiorazione è stata effettuata osservando che \log{(x)} costituisce un infinitesimo di ordine inferiore, al tendere di x\to +\infty, rispetto a x

\frac{x}{e^{x}}\leq \frac{x}{x^3}=\frac{1}{x^2}

dove l'ultima maggiorazione è stata effettuata osservando che x^3 è un infinito di ordine inferiore rispetto a e^x al tendere di x\to +\infty ("divido una stessa quantità per qualcosa <<di più piccolo>>, ottengo qualcosa <<di più grande>>").

Siamo riusciti a maggiorare l'integranda con una funzione che, sull'intervallo [1,+\infty), ha integrale improprio convergente

\int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{x^2}dx}

( ] è un integrale improprio notevole).

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Entrambi gli integrali impropri convergono emt

Ringraziano: Ifrit, Ihsahn666, CarFaby, vale203, mattiapdo

Funzione integrabile in senso improprio su due intervalli, integrali impropri #22211

  • Ihsahn666
  • avt
  • Punto
Grazie mille Omega, come sempre gentilissimo e soprattutto chiaro emt

Ringraziano: Omega

Funzione integrabile in senso improprio su due intervalli, integrali impropri #22212

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Di niente, figurati! emt

  • Pagina:
  • 1
Os