Serie di Mengoli

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Serie di Mengoli #20080

avt
matteo
Sfera
Ciao, studiando le serie mi sono imbattuto nella serie di Mengoli, ma su internet e su diversi libri a volte la trovo associata alle serie telescopiche altre volte alla serie armonica alternata.

Potreste aiutarmi a fare chiarezza sulla serie di Mengoli?
 
 

Serie di Mengoli #20086

avt
i.chirulli
Frattale
La serie Mengoli è un tipo di serie telescopica, quest'ultima ha la particolarità di avere la somma parziale ennesima scritta come differenza tra il primo e l'ultimo termine.

Per quanto riguarda la serie armonica alternata, credo che si debba intendere così in quanto appunto la serie si presenta (questa è la definizione di serie armonica a segni alterni) in quanto compaiono alternativamente i segni di somma e differenza.


In riferimento alla serie di Mengoli, è così definita

\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)}}

Se dovessimo calcolare la somma parziale ennesima ci ritroveremmo a dover affrontare davvero qualcosa di umanamente impossibile infatti sviluppando

\\ \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k(k+1)}}\\ \\ \\ s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}...

Ora notiamo che è possibile scrivere il termine generale nel seguente modo

\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}

e notiamo così quanto prodotto dalle tue ricerche

s_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+.......+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)

ed ora vediamo facilmente, come questa serie si presenta a segni alterni (io ho messo le parentesi solo per non avere confusione per quale valore sto calcolando la serie) ed è anche una serie telescopica perché si elidono tutti i termini ad eccezione del primo e dell'ultimo termine.

Ora infine

s_n=1-\frac{1}{n+1}

ed effettuando il limite per n\to+ \infty abbiamo che

\lim_{n\to+\infty}{1-\frac{1}{n+1}}=1

Ecco a te la dimostrazione del metodo per ricavare la somma della serie di Mengoli, spero di essere stato abbastanza chiaro..
Ringraziano: Omega, Pi Greco, matteo, CarFaby, Chiara soloperto

Serie di Mengoli #20140

avt
matteo
Sfera
Grazie mille della tua risposta davvero molto esaustiva. Buona domenica!
Ringraziano: i.chirulli
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Os