Condizione necessaria di convergenza delle serie - Condizione necessaria di Cauchy

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Condizione necessaria di convergenza delle serie - Condizione necessaria di Cauchy #20016

  • nando
  • avt
  • Frattale
Ciao a tutti, cercavo di trovare sul libro la dimostrazione della condizione necessaria per la convergenza di una serie ma non riesco a trovarlo.

Qualcuno può aiutarmi a capire cosa dice il teorema di Cauchy sulla condizione necessaria di convergenza delle serie numeriche e mostrarmi la dimostrazione? emt

Grazie

Ringraziano: matteotoma_98
 
 
 

Condizione necessaria di convergenza delle serie - Condizione necessaria di Cauchy #20019

  • Ifrit
  • avt
  • Ambasciatore
Ciao Nando, il teorema viene chiamato a volte direttamente Teorema di condizione necessaria per la convergenza di una serie o anche Condizione necessaria di Cauchy per la convergenza delle serie.

L'enunciato classico è il seguente:

Sia \sum_{n=0}^{\infty}a_n una serie numerica (reale, complessa).
Se essa converge ad S allora si ha che:

\lim_{n\to \infty}a_n=0

Dimostrazione

Sia s_k=\sum_{n=0}^ka_n la successione delle somme parziali. Per ipotesi sappiamo che la serie converge ad un numero S, e per definizione di serie convergente si ha che:

\sum_{n=0}^\infty a_n=S\iff \lim_{k\to \infty}s_k= S

Si ha che:

a_{k}=s_{k}-s_{k-1} \quad \forall k\in \mathbb{N}_{>0}

passando al limite membro a membro:

\lim_{k\to \infty}a_k= \overbrace{\lim_{k\to \infty}s_k}^{S}-\overbrace{\lim_{k\to \infty}s_{k-1}}}^{S}=0

Abbiamo dimostrato che SE la serie converge ALLORA il suo termine n-esimo tende a zero.

___________________

Nota importantissima: Esistono serie non convergenti in cui il termine n-esimo è infinitesimo. Considera infatti:

\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=+\infty

ma

\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0

_____________________

Questo teorema è usato al negativo:

SE il termine n-esimo NON è infinitesimo ALLORA la serie non converge.

emt

Fammi sapere se è tutto chiaro emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco, nando, Danni, Leonard89, Castel, robymid, Davix11, jackmich, matteotoma_98...

Condizione necessaria di convergenza delle serie - Condizione necessaria di Cauchy #20020

  • nando
  • avt
  • Frattale
Ciao lfrit,
che dire, chiarissimo emt
e grazie per la nota (direi importantissima) emt

Ringraziano: Ifrit

Re: Condizione necessaria di convergenza delle serie - Condizione necessaria di Cauchy #45538

  • Satiro
  • avt
  • Frattale
Scusatemi se riapro il topic ma servirebbe anche a me solo che non ho capito alcune cose :(

Alla terza riga non ho ben capito cosa sia Sk :(

poco più sotto non ho capito perchè si ha che : a_k=S_k-S_k-1..grazie..scusate

Re: Condizione necessaria di convergenza delle serie - Condizione necessaria di Cauchy #45543

  • Ifrit
  • avt
  • Ambasciatore
Ciao Satiro emt

(s_k)_{k\in\mathbb{N}} è la successione delle somme parziali associati alla serie \sum_{n=1}^{\infty}a_n

Il termine:

s_k= \sum_{n=1}^{k}a_k= a_1+a_2+...+ a_k

non è altro che la somma dei primi k termini della successione (a_n)_{n\in\mathbb{N}} che interviene nella serie.

Inoltre osserva che:

s_{k}-s_{k-1}=  a_1+a_2+...+a_{k-1}+ a_{k}-( a_1+a_2+...+ a_{k-1})=

= a_1+a_2+...+a_{k-1}+ a_{k}- a_1-a_2-...- a_{k-1}

elidendo i termini opposti, rimarrà solamente a_k pertanto:


s_{k}-s_{k-1}=  a_1+a_2+...+a_{k-1}+ a_{k}- a_1-a_2-...- a_{k-1}=a_k

Ti è un po' più chiaro? emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Leonard89, lucalalo, robymid, matteotoma_98
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Os