Calcolo di un limite, con seno e radice...limiti notevoli?

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Calcolo di un limite, con seno e radice...limiti notevoli? #1998

avt
rossella
Cerchio
Ciao ragazzi, ho difficoltà nel calcolo di questo limite, ci ho provato ma non ci sono riuscita. E' un limite da calcolare con i limiti notevoli, almeno credo, con un seno e una radice quadrata. Potreste aiutarmi?

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sqrt{1 + x^2}-1)}{x}

Grazie mille! emt
 
 

Calcolo di un limite, con seno e radice...limiti notevoli? #2005

avt
Ifrit
Amministratore
Dobbiamo calcolare il limite

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sqrt{1+x^2}-1)}{x}=(\bullet)

che si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right].

Con l'intento di risolverla ricorreremo all'uso del limite notevole associato alla funzione seno in forma generale

\lim_{h(x)\to 0}\frac{\sin(h(x))}{h(x)}=1

applicabile ogniqualvolta che l'argomento del seno è infinitesimo.

Ci riconduciamo al limite notevole del seno, moltiplicando e dividendo per \sqrt{1+x^2}-1:

(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+x^2}-1)}{x(\sqrt{1+x^2}-1)}=

A questo punto esprimiamo il limite del prodotto come prodotto di limiti

=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sqrt{1+x^2}-1)}{(\sqrt{1+x^2}-1)}\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}

Calcoliamo il valore del primo limite

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sqrt{1+x^2}-1)}{(\sqrt{1+x^2}-1)}=

mediante la sostituzione

t= \sqrt{1+x^2}-1

Quando x\to 0 anche la variabile t\to 0 pertanto limite precedente si riscrive come

=\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=1

Consideriamo l'altro fattore

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}=

È una forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che possiamo eliminare razionalizzazione del numeratore, ossia moltiplicando e dividendo per \sqrt{1+x^2}+1

=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x^2}-1)(\sqrt{1+x^2}+1)}{x(\sqrt{1+x^2}+1)}=

Eseguiamo i calcoli, utilizzando la regola relativa al prodotto di una somma per una differenza così da giungere al limite equivalente

\\ =\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x^2})^2-1}{x(\sqrt{1+x^2}+1)}= \lim_{x\to 0}\frac{1+x^2-1}{x(\sqrt{1+x^2}+1)}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x(\sqrt{1+x^2}+1)}=

Semplifichiamo x\mbox{ con }x^2 e calcoliamo il valore del limite per sostituzione diretta

=\lim_{x\to 0}\frac{x}{(\sqrt{1+x^2}+1)}=0

Con le informazioni a disposizione, possiamo concludere che il limite iniziale è 0

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sqrt{1+x^2}-1)}{(\sqrt{1+x^2}-1)}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}=1\cdot 0=0

Fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, rossella, StefanoF
  • Pagina:
  • 1
Os