Complemento algebrico di un elemento di una matrice

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Complemento algebrico di un elemento di una matrice #18445

avt
federicoverona
Sfera
Vorrei chiedervi delucidazioni in merito al calcolo del complemento algebrico (o cofattore) di un elemento di una matrice.

Potreste riportare la formula di calcolo e mostrarmi qualche esempio?

Inoltre, vorrei sapere cos'è e come si determina la matrice dei cofattori associata a una matrice.
Ringraziano: Tangentedix
 
 

Complemento algebrico di un elemento di una matrice #18460

avt
Galois
Amministratore
Il complemento algebrico (o cofattore) di un elemento di una matrice quadrata è il determinante della sottomatrice che si ottiene eliminando la riga e la colonna della matrice a cui appartiene l'elemento, e a cui si antepone:

- il segno + se la somma tra gli indici di riga e colonna dell'elemento è pari;

- il segno - se la somma degli indici di riga e colonna dell'elemento è dispari.

In altri termini, se A è una matrice quadrata di ordine n, il complemento algebrico (o cofattore) dell'elemento a_{ij} \in A è

\mbox{Cof}(a_{ij})= (-1)^{i+j} \cdot \mbox{det}(A_{ij})


dove A_{ij} è la sottomatrice che si estrae da A eliminandone la i-esima riga e la j-esima colonna.

Esempi

Consideriamo la matrice

A=\begin{pmatrix}1&3&-1 \\ 2&4&0 \\ -1&2&2\end{pmatrix}

e calcoliamo i cofattori di tutti suoi elementi partendo da quello relativo ad a_{11}.

Consideriamo la sottomatrice

A_{11}=\begin{pmatrix} 4&0 \\ 2&2\end{pmatrix}

ottenuta da A eliminando la prima riga e la prima colonna, che sono quelle a cui appartiene a_{11}.

Calcoliamone il determinante

\mbox{det}(A_{11})=\mbox{det}\begin{pmatrix} 4&0 \\ 2&2\end{pmatrix} = (4 \cdot 2) - (0 \cdot 2) = 8 - 0 = 8

Infine, poiché la somma tra gli indici di riga e di colonna di a_{11} è un numero pari (1+1=2), il cofattore dell'elemento a_{11} è

\mbox{Cof}(a_{11})=8

Una volta capito come procedere possiamo velocizzare il calcolo dei cofattori applicando direttamente la formula

\mbox{Cof}(a_{ij})= (-1)^{i+j} \cdot \mbox{det}(A_{ij})

Ecco dunque i complementi algebrici di tutti gli elementi della matrice assegnata

\\ \mbox{Cof}(a_{12})=(-1)^{1+2} \cdot \mbox{det}(A_{12})=(-1)^3 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 2&0 \\ -1&2\end{pmatrix} = (-1) \cdot 4 = -4 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{13})=(-1)^{1+3} \cdot \mbox{det}(A_{13})=(-1)^4 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 2&4 \\ -1&2\end{pmatrix} = 1 \cdot 8 = 8 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{21})=(-1)^{2+1} \cdot \mbox{det}(A_{21})=(-1)^3 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 3&-1 \\ 2&2\end{pmatrix} = (-1) \cdot 8 = -8 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{22})=(-1)^{2+2} \cdot \mbox{det}(A_{22})=(-1)^4 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 1&-1 \\ -1&2\end{pmatrix} = 1 \cdot 1 = 1 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{23})=(-1)^{2+3} \cdot \mbox{det}(A_{23})=(-1)^5 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 1&3 \\ -1&2\end{pmatrix} = (-1) \cdot 5 = -5 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{31})=(-1)^{3+1} \cdot \mbox{det}(A_{31})=(-1)^4 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 3&-1 \\ 4&0\end{pmatrix} = 1 \cdot 4 = 4 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{32})=(-1)^{3+2} \cdot \mbox{det}(A_{32})=(-1)^5 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 1&-1 \\ 2&0\end{pmatrix} = (-1) \cdot 2 = -2 \\ \\ \\ \mbox{Cof}(a_{33})=(-1)^{3+3} \cdot \mbox{det}(A_{33})=(-1)^6 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix} 1&3 \\ 2&4\end{pmatrix} = 1 \cdot (-2) = -2

Matrice dei cofattori

Data una qualsiasi matrice quadrata A, la matrice dei cofattori (o matrice dei complementi algebrici) associata ad A è quella matrice che si ottiene da A sostituendo ogni elemento col rispettivo cofattore.

In riferimento al precedente esempio, la matrice dei complementi algebrici di

A=\begin{pmatrix}1&3&-1 \\ 2&4&0 \\ -1&2&2\end{pmatrix}

è

\begin{pmatrix}\mbox{Cof}(a_{11}) & \mbox{Cof}(a_{12}) & \mbox{Cof}(a_{13}) \\ \mbox{Cof}(a_{21}) & \mbox{Cof}(a_{22}) & \mbox{Cof}(a_{23}) \\ \mbox{Cof}(a_{31}) & \mbox{Cof}(a_{32}) & \mbox{Cof}(a_{33})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8&-4&8 \\ -8&1&-5 \\ 4&-2&-2\end{pmatrix}

***

Il calcolo dei cofattori e la matrice dei cofattori giocano un ruolo da protagonista del calcolo della matrice inversa - click!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, federicoverona
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Os