Integrale indefinito di una funzione razionale con Delta negativo

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#17441
avt
Matchpoint
Frattale

Salve! Ho svolto un integrale di una funzione razionale con Delta negativo e volevo sapere se era giusto:

∫(2x^2+4)/(x^2+x+1)dx

Grazie per l'attenzione

#17472
avt
Omega
Amministratore

Ciao Matchpoint,

vediamo come procedere.

Cominciamo subito con un semplice passaggio che discende dalle proprietà degli integrali

∫(2x^2+4)/(x^2+x+1)dx = 2∫(x^2+2)/(x^2+x+1)dx

Per calcolarlo la prima cosa da fare è riscrivere l'integranda effettuando la divisione tra polinomi, che ci permette di esprimere l'integranda nella forma

(x^2+2)/(x^2+x+1) = (1−x)/(x^2+x+1)+1

Nel seguito l'idea è quella di sfruttare la linearità dell'integrale di Riemann.

Il primo addendo è una frazione che tentiamo di ricondurre alla somma di due derivate: la derivata di un logaritmo e la derivata di un'arcotangente (procedimento abbastanza canonico quando si trattano integrali di funzioni razionali con denominatore quadratico a delta negativo).

Per conseguire lo scopo abbiamo bisogno:

1) di una frazione con numeratore uguale alla derivata del numeratore;

2) di una frazione con numeratore costante.

Un paio di semplici barbatrucchi algebrici, nella fattispecie raccogliere un meno

(1−x)/(x^2+x+1) = −(x−1)/(x^2+x+1)

far comparire un coefficiente 2 a numeratore

(1−x)/(x^2+x+1) = −(1)/(2)(2x−2)/(x^2+x+1)

sommare e sottrarre un 3 a numeratore

(1−x)/(x^2+x+1) = −(1)/(2)(2x+1−3)/(x^2+x+1)

spezzare la frazione

(1−x)/(x^2+x+1) = −(1)/(2)(2x+1)/(x^2+x+1)+(3)/(2)(1)/(x^2+x+1)

A questo punto si tratta di calcolare:

∫−(1)/(2)(2x+1)/(x^2+x+1)dx = −(1)/(2)log(x^2+x+1)+c

il modulo nell'argomento del logaritmo non serve perché è un polinomio quadratico con delta negativo e coefficiente del termine quadratico positivo, dunque positivo sull'intero asse reale.

Passiamo a

∫(3)/(2)(1)/(x^2+x+1)dx = (3)/(2)∫(1)/(x^2+x+1)dx

vogliamo ricondurre l'integranda alla derivata di un'arcotangente, per cui a denominatore vogliamo

1+[f(x)]^2

dobbiamo lavorarci un pochettino su

x^2+x+1 = x^2+2(1)/(2)x+(1)/(4)+(3)/(4) =

dove ho evidenziato il doppio prodotto

= (x+(1)/(2))^2+(3)/(4) =

Raccogliamo 3/4

= (3)/(4)[(4)/(3)(x+(1)/(2))^2+1] =

Il coefficiente esterno lo si può portare fuori dall'integrale, cosicché siamo giunti alla forma richiesta

1+[f(x)]^2 = 1+(4)/(3)(x+(1)/(2))^2

dove f(x) = (2)/(√(3))(x+(1)/(2))

Ora non bisogna fare altro che far comparire all'interno dell'integrale

(3)/(2)(4)/(3)∫(1)/(1+[(2)/(√(3))(x+(1)/(2))]^2)dx

la costante moltiplicativa (2)/(√(3)), in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta

(3)/(2)(4)/(3)(√(3))/(2)∫(1)/(1+[(2)/(√(3))(x+(1)/(2))]^2)(2)/(√(3))dx

e ci siamo

√(3)arctan(((2)/(√(3))(x+(1)/(2))))+c

Mi raccomando: nel ricomporre i tre integrali attenzione al coefficiente 2.

Ringraziano: Pi Greco, Matchpoint, CarFaby
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