Integrale definito di una funzione x^(f(x))

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Integrale definito di una funzione x^(f(x)) #16637

avt
silvia91
Frattale
Calcolare l'integrale definito tra 1 ed e della funzione

∫_1^ex^(2ln(x))(ln(x))/(3x)dx

Come posso procedere?
 
 

Integrale definito di una funzione x^(f(x)) #16660

avt
Omega
Amministratore
Ciao Silvia91,

quando un'integrale sembra cattivissimo c'è una probabilità molto alta che un'intuizione o un barbatrucco lo renda estremamente semplice.

∫_(1)^(e)x^(2ln(x))·(ln(x))/(3x)dx

Calcoliamo l'integrale indefinito associato

∫x^(2ln(x))(ln(x))/(3x)dx = (1)/(3)∫x^(2ln(x))(ln(x))/(x)dx = (•)

Grazie all'identità logaritmo-esponenziale y = e^(ln(y)) possiamo riscrivere

x^(2ln(x)) = e^(ln((x^(2ln(x))))) = •

grazie ad una nota proprietà dei logaritmi

• = e^(2ln(x)ln(x)) = e^(2ln^2(x))

Ora: qual è la derivata di tale funzione? Per il teorema di derivazione della funzione composta

(d)/(dx)e^(2ln^2(x)) = e^(2ln^2(x))·2·2ln(x)(1)/(x) = e^(2ln^2(x))(4ln(x))/(x)

Quindi se riscriviamo l'integrale nella forma

(•) = (1)/(3)∫e^(2ln^2(x))(ln(x))/(x)dx = (1)/(12)∫e^(2ln^2(x))(4ln(x))/(x)dx =

abbiamo automaticamente la generica primitiva

= (1)/(12)e^(2ln^2(x))+c =

o, se preferisci

= (1)/(12)x^(2ln(x))+c

Ecco fatto. Ah! Chiaramente per l'integrale DEfinito bisogna valutare la primitiva agli estremi di integrazione e calcolare la differenza delle due valutazioni, in accordo con il teorema fondamentale del calcolo integrale.

∫_(1)^(e)x^(2ln(x))·(ln(x))/(3x)dx = (1)/(12)e^(2ln(e))-(1)/(12)e^(1·ln(1)) = (1)/(12)e^2-(1)/(12)

L'esercizio è terminato.
Ringraziano: Ifrit, silvia91
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