Limite da risolvere con radice

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Limite da risolvere con radice #16253

avt
sarita
Cerchio
Ragazzi ho un limite fratto con radice che non riesco a calcolare, per x che tende a zero:

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^4+x^2}-x}{2x^2}

Qui come risolvo la forma d'indecisione 0/0?

Posso portare fuori dal segno di radice x^2 e semplificare col numeratore? E posso applicare de l'Hopital anche nelle forme indeterminate 0/0 oltre che infinito/infinito?
 
 

Limite da risolvere con radice #16280

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao sarita!

Riguardo all'ultima domanda, sì: in generale però il teorema di de l'Hopital richiede anche altre ipotesi per poter essere applicato.

Il limite di cui vogliamo conoscere il risultato (se esiste) è

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^4+x^2}-x}{2x^2}=

e genera la forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Al fine di scioglierla mettiamo in evidenza x^2 nel radicando

=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2(x^2+1)}-x}{2x^2}=(\bullet)

e utilizziamo la proprietà delle radici relativa al prodotto grazie alla quale possiamo scrivere la radice del prodotto come prodotto di radici.

\sqrt{x^2(x^2+1)}=\sqrt{x^2}\sqrt{x^2+1}= |x|\sqrt{x^2+1}

Nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la relazione \sqrt{x^2}=|x|, in accordo con la definizione di valore assoluto.

Grazie alle osservazioni il limite si esprime nella forma equivalente:

(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{|x|\sqrt{x^2+1}-x}{2x^2}

A questo punto la presenza del modulo ci deve allarmare: è possibile che il limite destro e il limite sinistro in 0 non coincidano. Analizziamo il limite destro

\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|\sqrt{x^2+1}-x}{2x^2}=

Poiché x\to 0^{+} per valori positivi si ha che |x|=x il limite destro diventa

=\lim_{x\to 0^+}\frac{x(\sqrt{1+x^2}-1)}{2x^2}=

e scriviamolo ancora come prodotto di limiti

=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}

Il primo limite è 0, mentre il secondo è il limite notevole:

\lim_{h(x)\to 0}\frac{\sqrt{1+h(x)}-1}{h(x)}=\frac{1}{2}

con h(x)=x^2.

Con le informazioni in nostro possesso possiamo asserire che il limite destro è 0:

\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}=0\cdot\frac{1}{2}=0

Per quanto riguarda il limite da sinistra, possiamo ripercorrere gli stessi passaggi:

\\ \lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{x^4+x^2}-x}{2x^2}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^{-}}\frac{|x|\sqrt{1+x^2}-x}{2x^2}=

Attenzione, poiché questa volta x\to 0 per valori negativi, sussiste l'uguaglianza |x|=-x e dunque il limite diventa

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{(-x)\sqrt{1+x^2}-x}{2x^2}=

e raccogliendo il fattore comune -x otteniamo

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-x(\sqrt{1+x^2}+1)}{2x^2}

Semplifichiamo x con il denominatore ed eseguiamo la valutazione:

=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-(\sqrt{1+x^2}+1)}{2x}=\left[\frac{-2}{0^-}\right]=+\infty

Il risultato si giustifica mediante le semplici regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi.

Concludiamo che il limite proposto inizialmente non esiste perché il limite destro e il limite sinistro non coincidono.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os