Limite da risolvere con radice

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Limite da risolvere con radice #16253

sarita Cerchio	Ragazzi ho un limite fratto con radice che non riesco a calcolare, per x che tende a zero: $\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^4+x^2}-x}{2x^2}$ Qui come risolvo la forma d'indecisione 0/0? Posso portare fuori dal segno di radice e semplificare col numeratore? E posso applicare de l'Hopital anche nelle forme indeterminate 0/0 oltre che infinito/infinito?

Limite da risolvere con radice #16280

Ifrit

Amministratore

Ciao sarita!

Riguardo all'ultima domanda, sì: in generale però il teorema di de l'Hopital richiede anche altre ipotesi per poter essere applicato.

Il limite di cui vogliamo conoscere il risultato (se esiste) è

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^4+x^2}-x}{2x^2}=$

e genera la forma indeterminata $\left[\frac{0}{0}\right]$ . Al fine di scioglierla mettiamo in evidenza

nel radicando

$=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2(x^2+1)}-x}{2x^2}=(\bullet)$

e utilizziamo la proprietà delle radici relativa al prodotto grazie alla quale possiamo scrivere la radice del prodotto come prodotto di radici.

$\sqrt{x^2(x^2+1)}=\sqrt{x^2}\sqrt{x^2+1}= |x|\sqrt{x^2+1}$

Nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la relazione $\sqrt{x^2}=|x|$ , in accordo con la definizione di valore assoluto.

Grazie alle osservazioni il limite si esprime nella forma equivalente:

$(\bullet)=\lim_{x\to 0}\frac{|x|\sqrt{x^2+1}-x}{2x^2}$

A questo punto la presenza del modulo ci deve allarmare: è possibile che il limite destro e il limite sinistro in 0 non coincidano. Analizziamo il limite destro

$\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|\sqrt{x^2+1}-x}{2x^2}=$

Poiché $x\to 0^{+}$ per valori positivi si ha che

il limite destro diventa

$=\lim_{x\to 0^+}\frac{x(\sqrt{1+x^2}-1)}{2x^2}=$

e scriviamolo ancora come prodotto di limiti

$=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}$

Il primo limite è 0, mentre il secondo è il limite notevole:

$\lim_{h(x)\to 0}\frac{\sqrt{1+h(x)}-1}{h(x)}=\frac{1}{2}$

con

.

Con le informazioni in nostro possesso possiamo asserire che il limite destro è 0:

$\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}=0\cdot\frac{1}{2}=0$

Per quanto riguarda il limite da sinistra, possiamo ripercorrere gli stessi passaggi:

$\\ \lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{x^4+x^2}-x}{2x^2}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^{-}}\frac{|x|\sqrt{1+x^2}-x}{2x^2}=$

Attenzione, poiché questa volta $x\to 0$ per valori negativi, sussiste l'uguaglianza

e dunque il limite diventa

$=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{(-x)\sqrt{1+x^2}-x}{2x^2}=$

e raccogliendo il fattore comune

otteniamo

$=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-x(\sqrt{1+x^2}+1)}{2x^2}$

Semplifichiamo

con il denominatore ed eseguiamo la valutazione:

$=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-(\sqrt{1+x^2}+1)}{2x}=\left[\frac{-2}{0^-}\right]=+\infty$

Il risultato si giustifica mediante le semplici regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi.

Concludiamo che il limite proposto inizialmente non esiste perché il limite destro e il limite sinistro non coincidono.

Ringraziano: Omega, Pi Greco

Pagina:
1