Studio di funzione prodotto di una funzione fratta e di una funzione esponenziale

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#16198
avt
federicoverona
Sfera

Buongiorno, qui vorrei chiedervi una mano con lo studio di una funzione, che è prodotto di una funzione fratta e di una funzione esponenziale.

La funzione prodotto per cui mi chiedono lo studio di funzione è

f(x) = (x+1)/(x+5)e^((2)/(x+5))

Grazie...

#16325
avt
Omega
Amministratore

La funzione è questa

f(x) = (x+1)/(x+5)e^((2)/(x+5))

e la guida cui fare riferimento sempre la stessa: studio di funzione.

Dominio: dobbiamo imporre una sola condizione, il non annullarsi dei denominatori

x+5 ≠ 0 → x ≠−5

per cui Dom(f) = (−∞,−5) U (−5,+∞).

Segno della funzione e intersezioni con gli assi.

Risolviamo la disequazione f(x) ≥ 0. Essendo l'esponenziale una funzione positiva sull'intero asse reale***, essa si riduce in una disequazione fratta

(x+1)/(x+5) > 0 → x < −5 ∨ x > −1

insieme sul quale f(x) è positiva, mentre su −5 < x < −1 la funzione è negativa.

L'unica intersezione con l'asse delle ascisse è data da x = −1, mentre per quanto concerne l'asse delle ordinate ci basta calcolare

f(0) = (e^((2)/(5)))/(5)

*** Nel dire "l'esponenziale è una funzione positiva sull'intero asse reale" si intende che

y = e^x

assume solamente valori positivi. Se consideriamo una funzione della forma

y = e^(f(x))

allora tale funzione sarà necessariamente positiva. Il "dove" è chiaramente da intendersi come il dominio della funzione f(x), e viene mandato (mediante f) nell'immagine di f Im(f). Tale immagine è un sottoinsieme dei reali: qualunque esso sia, risulta in ogni caso che e^(f(x)) > 0.

Limiti agli estremi del dominio.

L'algebra degli infiniti e degli infinitesimi è manna dal cielo, infatti ci permette di calcolare velocemente

lim_(x → −∞)f(x) = lim_(x → −∞)(x+1)/(x+5)e^((2)/(x+5)) = 1 ; lim_(x → +∞)f(x) = lim_(x → +∞)(x+1)/(x+5)e^((2)/(x+5)) = 1 ; lim_(x → (−5)^(+))f(x) = lim_(x → (−5)^(+))(x+1)/(x+5)e^((2)/(x+5))''=''(−4)/(0^(+))e^(+∞) = −∞

È invece interessante il calcolo del limite

lim_(x → (−5)^(−))f(x) = lim_(x → (−5)^(−))(x+1)/(x+5)e^((2)/(x+5)) = •

nel quale possiamo sostituire y = (1)/(x+5) cosicché risulta che y → −∞ al tendere di x → (−5)^(−). Nel riscrivere il limite, sostituiamo il numeratore del fattore del termine esponenziale con −4

• = lim_(y → −∞)−4ye^(2y) =

se sostituiamo z = −y abbiamo che z → _(y → −∞)+∞

• = lim_(y → −∞)4ze^(−2z) = lim_(y → −∞)(4z)/(e^(2z)) = (H) = 0

dove il risultato si deduce applicando il teorema di De l'Hopital.

Osservazione: non si può applicare l'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi perché passando al limite per x → (−5)^(−) si ottiene una forma indeterminata del tipo [0/0] se si interpreta l'esponenziale come parte del denominatore, mentre se si considera la funzione come prodotto della frazione per il termine esponenziale la forma indeterminata che si ricava è [∞·0].

Il limite per x → (−5)^(+), invece, non genera una forma di indecisione, infatti si ottiene il prodotto di due infiniti, che in accordo con le regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi fornisce un infinito.

Resta da studiare la derivata prima per determinare i massimi e i minimi assoluti e relativi.

La derivata prima si calcola applicando la regola di derivazione del prodotto di funzioni prima e la regola di derivazione del rapporto di funzioni e il teorema di derivazione della funzione composta

f(x) = (x+1)/(x+5)e^((2)/(x+5)) ; f'(x) = (x+5−x−1)/((x+5)^2)e^((2)/(x+5))+(x+1)/(x+5)e^((2)/(x+5))(−2)/((x+5)^2)

con semplici calcoli si ottiene

f'(x) = (2e^((2)/(x+5)))/((x+5)^2)(x+9)/(x+5)

Lo studio del segno della derivata prima è semplice: risolvere la disequazione f'(x) > 0 equivale infatti a risolvere

(x+9)/(x+5) > 0

le cui soluzioni sono date da

x < −9 ∨ x > −5

Ne deduciamo che f è crescente sugli intervalli

(−∞,−9) e (−5,+∞)

mentre è decrescente su (−9,−5) e dunque presenta in x = −9 un punto di massimo relativo.

Calcoliamo la derivata seconda applicando la regola di derivazione del quoziente a f'(x).

f''(x) = (d)/(dx)[f'(x)] = (d)/(dx)[(2 e^((2)/(5+x))(9+x))/((5+x)^3)] = ((d)/(dx)[2 e^((2)/(5+x))(9+x)] (5+x)^3−2 e^((2)/(5+x))(9+x)(d)/(dx)[(5+x)^3])/((5+x)^6) =

Eseguendo la derivata del prodotto in combinazione con la regola di derivazione delle funzioni composte otteniamo

= ((2 e^(frac25+x)(1+x)(7+x))/((5+x)^2)·(5+x)^3−2 e^((2)/(5+x))(9+x)·3(x+5)^2)/((5+x)^6) =

Portiamo a termine i calcoli così da ottenere l'espressione della derivata seconda

= −(4 e^((2)/(5+x))(64+17x+x^2))/((5+x)^5)

Studiamone il segno così da determinare gli intervalli di concavità e convessità e gli eventuali punti di flesso. Impostiamo la disequazione

f''(x) ≥ 0 → −(4 e^((2)/(5+x))(64+17x+x^2))/((5+x)^5) ≥ 0

ed osserviamo ancora una volta che il fattore esponenziale è certamente positivo dunque il segno dipenderà da quelli che assumono i fattori

64+17x+x^2 e (5+x)^5

x^2+17x+64 ≥ 0 ⇔ x ≤ (1)/(2)(−17−√(33)) ∨ x ≥ (1)/(2)(−17+√(33)) ; (5+x)^5 > 0 ⇔ 5+x > 0 ⇔ x > −5

Costruendo la tabella dei segni scopriamo che la derivata seconda è

- positiva negli intervalli

(−∞, (−17−√(33))/(2)) e in ((−17+√(33))/(2),−5)

- negativa negli intervalli

((−17−√(33))/(2), (−17+√(33))/(2)) e in (−5,+∞)

- nulla per x = (−17±√(33))/(2)

conseguentemente la funzione di partenza f(x)

- è convessa in

(−∞, (−17−√(33))/(2)) e in ((−17+√(33))/(2),−5)

- è concava in

((−17−√(33))/(2), (−17+√(33))/(2)) e in (−5,+∞)

- ha due punti di flesso x = (−17±√(33))/(2)

Grafico della funzione

Silvia91graficofunzionefrattaperesponenziale
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, federicoverona, nekoplano
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