Integrale definito di una funzione fratta con logaritmo

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Integrale definito di una funzione fratta con logaritmo #15105

avt
federicoverona
Sfera
Ciao, ho un integrale di una funzione fratta con logaritmo che mi sembra un rompicapo

∫_(e-1)^(e^2-1)(1)/((x+1)ln(x+1))dx

Mi spiegate come calcolarlo, per favore?
 
 

Integrale definito di una funzione fratta con logaritmo #15117

avt
Omega
Amministratore
Ciao FedericoVerona emt

Niente paura: guardando l'integranda nell'ottica giusta questo integrale definito

∫_(e-1)^(e^2-1)(1)/((x+1)ln(x+1))dx

si risolve in due passaggi.

Basta notare che (1)/(x+1) è la derivata di ln(x+1), per cui se scriviamo l'integranda nella forma

∫_(e-1)^(e^2-1)[ln(x+1)]^(-1)(1)/(x+1)dx = •

possiamo applicare la formula di integrazione

∫[f(x)]^(s)f'(x)dx = ([f(x)]^(s+1))/(s+1)+c s ≠-1 ; log((f(x)))+c s = -1

dunque

• = [log((log(x+1)))]_(e-1)^(e^2-1) =

= log((log(e^(2))))-log((log(e))) = log(2)

Ecco fatto!
Ringraziano: Federica90, CarFaby
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Os