Serie numerica con funzione trigonometrica nel termine generale

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Serie numerica con funzione trigonometrica nel termine generale #14822

avt
euclide
Cerchio
Salve a tutti amici! Ho difficoltà con gli esercizi sulle serie in cui compare nel termine generale una funzione trigonometrica. Ad esempio considerando la serie:

\sum_{n=2}^{+\infty}{\frac{1-\cos(n)}{n^{3}-1}}

sarei tentanto a sostituire 1-\cos(n) con \frac{1}{2}n^{2}, dato che sono asintoticamente equivalenti per n \rightarrow 0.

Però credo che questo sia un errore dato che nella serie l'indice "n" non tende a 0 ma a più infinito.

Quindi, dato che questa equivalenza non è applicabile, non so come liberarmi di quel coseno nel termine generale. Ovviamente ciò non mi aiuta a capire quale criterio sia più opportuno applicare! :(

Grazie anticipatamente per l'attenzione.
 
 

Re: Serie numerica con funzione trigonometrica nel termine generale #14827

avt
kameor
Sfera
no infatti non puoi usare quell'equivalenza asintotica, giustamente come ti sei accorto vale solo se l'argomento del coseno tende a 0

comunque nota che quella è una serie a termini positivi, infatti
 0 \le 1 - cos(n) \le 2

e il termine al denominatore è sempre positivo per n\ge2

quindi puoi applicare il criterio del confronto per le serie effettuando questa maggiorazione, come se la funzione al numeratore assumesse sempre il valore maggiore, cioè 2

\frac{1-cos(n)}{n^3-1} \le \frac{2}{n^3-1}

dato che la serie  \sum  \frac{2}{n^3-1} converge per confronto asintotico con la serie armonica di ordine 3 allora converge anche la serie di partenza per confronto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, euclide, CarFaby

Re: Serie numerica con funzione trigonometrica nel termine generale #14831

avt
euclide
Cerchio
Grazie kameor! emt

Hai quindi applicato prima il criterio del confronto per liberarti del coseno e poi il criterio del confronto asintotico per studiare la convergenza.

Perciò quando trovo una funzione trigonometrica posso sempre effettuare una maggiorazione e sostituirla con il valore massimo che essa può assumere?

Re: Serie numerica con funzione trigonometrica nel termine generale #14855

avt
kameor
Sfera
non vorrei sbilanciarmi a dirti che è vero sempre e poi magari esistono casi particolari in cui non lo è emt

diciamo che spesso quando trovi sen(n) o cos(n) allora molto probabilmente conviene usare il criterio del confronto.

diverso per esempio è il caso in cui hai sen(\frac{1}{n}) o cos(\frac{1}{n}), qui puoi sfruttare le approssimazioni asintotiche perchè l'argomento tende a 0.

in ogni caso ricorda sempre prima di applicare il criterio del confronto di verificare che i termini siano positivi, altrimenti non lo puoi applicare.
Ringraziano: Pi Greco, euclide, CarFaby
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Os