Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione

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Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione #12334

avt
904
Sfera
Ciao a tutti emt

Qualcuno può aiutarmi con il criterio del rapporto per serie numeriche?

In particolare, mi interesserebbe la dimostrazione del criterio del rapporto.

Grazie in anticipo
 
 

Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione #12342

avt
Omega
Amministratore
Ok, facciamolo emt intanto segnalo il link della lezione di riferimento sul criterio del rapporto per le serie, per chi fosse arrivato direttamente qui tramite ricerca.

Sia \sum_{n=1}^{+\infty}{a_n} una serie a termini positivi, e supponiamo che

\lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=k

allora:

1- se 0\leq k<1, la serie converge;

2- se k>1, la serie diverge;

3- se k=1, il criterio del rapporto non fornisce alcuna informazione sul carattere della serie.


Dimostrazione:

Proviamo 1-: essendo \frac{a_{n+1}}{a_n}\to k<1, la successione dei rapporti è definitivamente minore di 1, quindi preso \gamma\in (k,1) possiamo trovare un indice N tale che per ogni n\geq N risulta

\frac{a_{n+1}}{a_n}<\gamma<1

da tale relazione deduciamo in particolare che

a_{n+1}<\gamma a_n \mbox{ }(\bullet)

e dato che la disuguaglianza vale per ogni n\geq N, non è difficile vedere che

a_{n}<\gamma a_{n-1}<\gamma^2 a_{n-2}<...<\gamma^{n-(N+1)}a_{N+1}

basta applicare (\bullet ) ricorsivamente. Dalla precedente relazione ricaviamo

a_{n}<\gamma^{n-(N+1)}a_{N+1}=\frac{a_{N+1}}{\gamma^{N+1}}\gamma^{n}

osservando che \frac{a_{N+1}}{\gamma^{N+1}} è una costante (dipende infatti dall'indice N, che è fissato, e non da n!) concludiamo che il termine generale a_{n} della serie di partenza può essere maggiorato con il termine generale della serie geometrica \gamma^{n}, che è convergente poiché \gamma<1.

Il criterio del confronto per serie garantisce quindi che la serie converge se k<1.

Dimostrazione del punto 2:

supponiamo che \lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=k>1. La successione \frac{a_{n+1}}{a_n} è definitivamente maggiore di 1, in particolare prendnedo un valore 1<\gamma<k esisterà un indice N tale che per ogni n\geq N risulta

\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>\gamma

Da qui deduciamo che

a_{n+1}>\gamma a_{n}

Generalizziamo la precedente relazione

a_{N+1}>\gamma a_{N}

a_{N+2}>\gamma^2 a_{N}

...

a_{N+\nu}\geq \gamma^{\nu}a_{N}

Se consideriamo la coda della serie di partenza, cioè

\sum_{n=N}^{+\infty}{a_{n}}

possiamo applicare il criterio del confronto e concludere che \sum_{n=1}^{+\infty}{a_{n}} diverge: infatti la precedente coda maggiora

\sum_{n=N}^{+\infty}{a_{n}}>a_{N}\sum_{n=N}^{+\infty}{\gamma^{n}}

dove l'ultima è la coda di una serie geometrica divergente, poiché ha ragione \gamma>1.
Ringraziano: LittleMar, CarFaby

Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione #12407

avt
904
Sfera
a partire da come fai a dire che la successione del rapporto è minore di 1?

Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione #12449

avt
Omega
Amministratore
Nel caso in cui \lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=k<1, \frac{a_{n+1}}{a_{n}} deve necessariamente essere definitivamente minore di 1.

Ciò deriva direttamente dalla definizione di successione convergente, infatti se una successione di numeri reali x_n converge ad un limite k, comunque prendi un valore \varepsilon>0 esiste necessariamente un indice N (dipendente da \varepsilon) tale per cui per ogni n>N risulta che |x_n-k|\leq \varepsilon. Ciò significa che la successione deve trovarsi definitivamente in un intorno del punto k di raggio \varepsilon.

Se prendi x_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}, k<1 e un \varepsilon<1-k, capisci subito perché la successione del rapporto è definitivamente minore di 1 emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar

Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione #27559

avt
L92
Punto
Ciao Omega emt riguardando questo teorema ho un dubbio. Vorrei sapere se questa affermazione è giusta:

"avendo a_{k+1} > a_{k}, posso dire che la successione \{a_{n}\} è crescente e quindi non vale la condizione necessaria di convergenza delle serie, cioè che a_{n} tende a 0 per n che tende a infinito, e quindi la serie diverge".

Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione #27579

avt
Omega
Amministratore
Ciao L92 emt

Per le formule ci sei quasi: mancano solo da aggiungere i tag di apertura e chiusura codice LaTeX. emt

In merito alla tua domanda: direi proprio di sì, perché nelle nostre ipotesi la successione del termine generale è una successione a termini positivi, dunque se è strettamente crescente non può avere limite pari a zero.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar

Re: Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione #54034

avt
Giulia.S
Punto
Ciao, grazie per le dimostrazioni, mi sono state molto utili.
Mi piacerebbe sapere però come si arrivi a dire che, nel caso in cui il limite k=1, il teorema non dà alcuna informazione.
Grazie mille!
Ringraziano: Ifrit

Re: Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione #54037

avt
Omega
Amministratore
Gran bella domanda Giulia!

Per dimostrarlo basta proporre due esempi di serie, una divergente, l'altra convergente, che abbiano come limite del rapporto 1. Così facendo si prova che in generale il criterio del rapporto con limite pari a 1 non fornisce alcuna indicazione sul carattere della serie.

Considera ad esempio le serie armoniche \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} e \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}. La prima diverge, la seconda converge. In entrambi i casi il limite del rapporto è 1. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, Giulia.S, Ten

Re: Criterio del rapporto per serie numeriche, dimostrazione #54041

avt
Giulia.S
Punto
Magnifico, non ci avrei mai pensato!
Grazie mille emt
Ringraziano: Omega
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Os