Risoluzione di uno studio di funzione a una variabile

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
#12047
avt
teresa
Punto

Salve a tutti! Avrei bisogno di risolvere questa funzione fratta con l'esponenziale di una radice a denominatore:

f(x) = (1)/(1+e^(√(x)))

Devo determinare: dominio, limiti agli estremi, derivata, massimi e minimi, immagine e grafico.

Potete aiutarmi? Grazie!

#12052
avt
toyo10
Frattale

Consideriamo la funzione

f(x) = (1)/(1+e^(√(x)))

e determiniamone il dominio richiedendo che il radicando sia maggiore o uguale a 0 e il denominatore diverso da 0

x ≥ 0 ; 1+e^(√(x)) ≠ 0

La seconda equazione è sempre vera perché somma di quantità positive, infatti e^(√(x)) > 0 sempre, quindi

dom(f) = x ∈ R: x ≥ 0 = [0,+∞)

Osserviamo che il dominio non è simmetrico rispetto all'origine, di conseguenza la funzione non può essere né pari né dispari, dunque il grafico di f(x) non può essere simmetrico né rispetto all'asse delle ordinate né rispetto all'origine.

Segno e intersezione con gli assi: studiamo il segno della funzione impostando la disequazione fratta

f(x) ≥ 0 → (1)/(1+e^(√(x))) ≥ 0

Non è necessario effettuare alcun conto algebrico se si osserva che il numeratore e il denominatore sono entrambi positivi dunque anche il loro quoziente è positivo nel dominio.

Notiamo inoltre che f(x) non si annulla mai dunque il grafico di f(x) non interseca l'asse delle ascisse.

Per quanto riguarda l'intersezione con l'asse delle ordinate invece, è sufficiente valutare la funzione in x = 0

f(0) = (1)/(2)

e asserire che il punto di intersezione con l'asse delle ordinate ha coordinate (0, (1)/(2))

Studio degli estremi di definizione: analizziamo il comportamento della funzione agli estremi del dominio considerando i limiti

lim_(x → +∞) (1)/(1+e^(√(x))) = 0^+; lim_(x → 0) (1)/(1+e^(√(x))) = f(0) = +(1)/(2)

Il primo limite ci assicura l'esistenza di un asintoto orizzontale di equazione y = 0, conseguentemente non ci può essere asintoto obliquo.

Data la continuità della funzione non ci sono inoltre asintoti verticali.

Abbiamo estrapolato le informazioni ottenibili da f(x), non ci resta che dedicarci al calcolo ed allo studio della derivata prima mediante il quale è possibile determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo o di minimo relativi

f'(x) = (d)/(dx)[f(x)] = (d)/(dx)[(1)/(1+e^(√(x)))] =

Applichiamo la regola di derivazione del quoziente

= ((d)/(dx)[1](1+√(x))−1·(d)/(dx)[1+e^(√(x))])/((1+e^(√(x)))^2) = (−e^(√(x))·(1)/(2√(x)))/((1+e^(√(x)))^2) =

e scriviamo la frazione di frazioni in forma normale

= −(e^(√(x)))/(2√(x)(1+e^(√(x))))

Studiamo il segno della derivata impostando la disequazione fratta

f'(x) > 0 → −(e^(√(x)))/(2√(x)(1+e^(√(x)))) > 0

Attenzione: non è necessario alcun conto algebrico per comprendere che la disequazione non è mai soddisfatta. Notiamo infatti che sia il numeratore che il denominatore sono quantità positive ma il segno meno davanti cambia le carte in tavola. Possiamo asserire senza ombra di dubbio che la derivata prima è negativa e dunque f(x) è una funzione strettamente decrescente nel suo dominio.

Osserviamo che x = 0 si candida come un punto di non derivabilità per f(x): impostiamo quindi il limite del rapporto incrementale centrato in 0

lim_(h → 0)(f(0+h)−f(0))/(h) = lim_(h → 0)((1)/(1+e^(√(h)))−(1)/(2))/(h) = lim_(h → 0)−(e^(√(h))−1)/(2(e^(√(h))+1)h) = (•)

Risolviamo il limite avvalendoci delle stime asintotiche, la prima delle quali deriva dal limite notevole dell'esponenziale:

e^(√(h)−1) ~ _(h → 0)√(h) ; e^(√(h))+1 → 2

Sostituiamo nel limite (•) in questo modo otteniamo

(•) = lim_(h → 0)−(√(h))/(4 h) = −∞

Il limite del rapporto incrementale esiste ma non è finito, dunque f(x) non è derivabile in x = 0.

Studio di massimi e minimi

Traiamo le dovute considerazioni: f(x) è strettamente decrescente in [0,+∞) e x = 0 è un punto di massimo assoluto, il cui massimo associato è:

max = f(0) = (1)/(2)

]Ciò ci permette di esprimere l'immagine della funzione come

Im(f) = y ∈ R: 0 < y ≤ (1)/(2) = (0, (1)/(2)]

Le informazioni sono più che sufficienti a disegnare il grafico della funzione a meno di concavità.

Ringraziano: Omega, Pi Greco, teresa, armando4
  • Pagina:
  • 1