Metodo dicotomico

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Metodo dicotomico #104

avt
AdElEm93
Punto
Salve a tutti, lo scorso venerdì sono stata assente per motivi di salute. Quello stesso giorno la professoressa di matematica ha spiegato il Metodo dicotomico e dato che ho perso la lezione ora non riesco a risolvere gli esercizi in cui bisogna applicarlo e inoltre sto entrando nel panico perché Mercoledì ho un compito in classe sugli stessi argomenti e non posso più chiedere spiegazioni in classe.

Potreste spiegarmi, anche in sintesi di cosa si tratta e perché viene utilizzato?
Aiutoooooo, sono nel panico e ho bisogno di voi emt
Grazie
 
 

Metodo dicotomico #105

avt
Omega
Amministratore
Benvenuta Adele!

Con metodo dicotomico sono pressoché convinto tu ti riferisca al metodo della bisezione. Questi altro non è che un metodo per calcolare le radici di una assegnata funzione y=f(x).

Con radici, naturalmente, si intendono i valori di ascissa x che annullano la funzione assegnata, vale a dire le intersezioni del grafico della funzione con l'asse delle x.

Cerco di raccontarti il metodo nel modo più semplice possibile: L'ipotesi consiste nell'avere una funzione continua su un intervallo [a,b]. Scopo del gioco: trovare, se esistono, i valori x\in[a,b] tali che f(x)=0.

Per vedere se questi valori esistono, ti basta applicare il teorema degli zeri di Bolzano: data una funzione continua su un intervallo [a,b] che assume agli estremi di tale intervallo valori di segno opposto, esiste (tesi) almeno un valore x\in[a,b] tale che f(x)=0.

Almeno uno, poi magari ce ne sono diversi. emt

Immaginiamo che valgano le ipotesi del teorema degli zeri. Il metodo della bisezione prevede di considerare il punto che si trova a metà dell'intervallo (da cui il termine bisezione), quindi

\frac{a+b}{2}


e di confrontare il segno che la funzione assume in tale punto con quelli assunti agli estremi dell'intervallo: quindi controlliamo

f(a)\ \ ;\ \ f\left(\frac{a+b}{2}\right)\ \ ;\ \ f(b)


Se f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0, abbiamo trovato una radice.

In caso contrario ci concentriamo sull'intervallo avente per estremi \frac{a+b}{2} e l'estremo che produce un valore di ordinata di segno opposto rispetto a f\left(\frac{a+b}{2}\right).

Per farci un'idea immaginiamo sia a: stiamo cioè immaginando che il segno di quest'ultimo sia opposto a quello di f(a).

Consideriamo il punto medio dell'intervallo \left[a,\frac{a+b}{2}\right], e ragioniamo esattamente come prima.

Se nel punto medio di questo intervallo la funzione si annulla, abbiamo finito: è la radice cercata.

Se invece la funzione non si annulla in esso, procediamo come prima.

Si dimostra che procedendo in questo modo si arriva a trovare un valore x interno all'intervallo tale da annullare la funzione. Un metodo di questo tipo si dice iterativo perché ripeti il procedimento finché non arrivi alla soluzione cercata.
Ringraziano: AdElEm93, CarFaby, claudio0
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