Controllo relazione di equivalenza definita dalle coppie

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Controllo relazione di equivalenza definita dalle coppie #75526

avt
Chiò
Cerchio
Ciao ragazzi, ho un esercizio sulla verifica delle condizioni delle relazioni di equivalenza nel caso di una relazione definita esplicitamente dalle coppie.

L'altro ieri ho fatto lo scritto e credo sia andato molto bene quindi imminente dovrebbe arrivare l'orale (speriamo!). L'esercizio è:

dato l'insieme A=(0,1,2,3,4) e la relazione binaria:

R=\{(0,1) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4)\}

è riflessiva? È simmetrica? È transitiva?


Riflessiva no secondo me perché manca la coppia (0,0).

Simmetrica no perché ad esempio pur essendoci (0,1) ciò non implica (1,0).

Transitiva non saprei come dovrebbe presentarsi per esserlo.

Potreste spiegarmi come funziona un esercizio del genere e se ho risposto bene ai primi due punti? Grazie in anticipo.
 
 

Controllo relazione di equivalenza definita dalle coppie #75593

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Chiò emt

Prima di rispondere alla tua domanda facciamo un piccolo ripasso teorico che male non fa emt

Dati due insiemi A \ \mbox{e} \ B diversi dall'insieme vuoto, un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra A \ \mbox{e} \ B si dice relazione binaria.

Se, come nel tuo caso, abbiamo a che fare con un solo insieme, ogni sottoinsieme del prodotto cartesiano tra A ed A stesso è una relazione binaria.

Ora, noi abbiamo l'insieme

A=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4\}

e la relazione binaria \mathfrak{R} (sottoinsieme del prodotto cartesiano tra A ed A stesso) i cui elementi sono dati dalle seguenti coppie ordinate:

(0,1) \ (1,1) \ (2,2) \ (3,3) \ (4,4)

Possiamo, come hai ben fatto, affermare immediatamente che la nostra relazione non è riflessiva, in quanto, per definizione, una relazione binaria \mathfrak{R} in un insieme A si dice riflessiva se e solo se per ogni

a \in A: \ a \mathfrak{R}a.

Poiché però manca la coppia (0,0), abbiamo cioè trovato un elemento che non è in relazione con se stesso, possiamo affermare che la nostra relazione non gode della proprietà riflessiva.

Stesso discorso per la simmetria; infatti una relazione è simmetrica se e solo se per ogni

a, b \in A: \ \mbox{se} \ a \mathfrak{R}b \ \mbox{allora} \ b \mathfrak{R}a

Nel nostro caso, essendoci la coppia ordinata (0,1) abbiamo che

0 \mathfrak{R}1

ma, come ben hai osservato manca la coppia (1,0), ovvero

1 \not{\mathfrak{R}}0

Infine, una relazione si dice transitiva se e solo se per ogni

a, b, c \in A: \ \mbox{se} \ a \mathfrak{R}b \ \mbox{e} \ b \mathfrak{R}c \ \mbox{allora} \ a \mathfrak{R}c

Se consideriamo,

a=b=c=1

oppure

a=b=c=2

oppure

a=b=c=3

oppure

a=b=c=4

siamo a cavallo.

In modo che siano soddisfatte le ipotesi della transitività, ovvero

a \mathfrak{R}b \ \mbox{e} \ b \mathfrak{R}c

manca il caso in cui

a=0, \ b=1, \ c=1

Abbiamo infatti:

\underbrace{0}_{a} \mathfrak{R} \underbrace{1}_{b}

(ce lo dice la presenza della coppia ordinata (0,1));

\underbrace{1}_{b} \mathfrak{R} \underbrace{1}_{c}

(grazie alla presenza della coppia (1,1))

Dobbiamo vedere se

\underbrace{0}_{a} \mathfrak{R} \underbrace{1}_{c}

e ciò è vero!

La nostra relazione è quindi transitiva emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, Chiò

Controllo relazione di equivalenza definita dalle coppie #75602

avt
Chiò
Cerchio
Spiegazione super Galois, mi hai tolto un macigno dallo stomaco, ti ringrazio! Posso chiederti una cosa? Se avessimo avuto la coppia (1,0) la nostra relazione sarebbe stata simmetrica pur non essendoci ad esempio (2,3) (3,2)? Cioè basta trovare due soli elementi di A che godono della simmetria per poter affermare che la relazione è simmetrica? Per capirci, per essere simmetrica quali altre coppie avremmo dovuto avere oltre (1,0)?

Controllo relazione di equivalenza definita dalle coppie #75634

avt
Galois
Coamministratore
Attenzione!

Temevo in una domanda del genere.. Quando si ha a che fare con una relazione binaria e bisogna studiare la simmetria e la transitività si fa sempre confusione.

Riscriviamo un attimo la definizione di relazione binaria simmetrica.

Una relazione binaria definita su un insieme A si dice simmetrica se e solo se

per ogni a e b appartenenti ad A tali che

a \mathfrak{R} b \ \mbox{(ipotesi)}

allora

b \mathfrak{R} a \ \mbox{(tesi)}

Attenzione alle ipotesi ed alla tesi!

Come si fa quindi a vedere se una relazione binaria è simmetrica?

Molto semplicemente per ogni coppia ordinata (a,b) che compare nella relazione (ipotesi), deve esserci anche la coppia simmetrica (b,a) (tesi).

Quindi, sempre assumendo che il nostro insieme sia

A=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4\}

Se \mathfrak{R} è definita, ad esempio come

\mathfrak{R}=[(1,0) \ (0,1) \ (1,1) \ (2,2) \ (3,3) \ (4,4)]

allora essa è simmetrica.

Per ogni coppia scritta infatti è presente la sua "simmetrica", non dobbiamo porci problemi sulle coppie che "potrebbero esserci" ma che non ci sono emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, Chiò

Re: Controllo relazione di equivalenza definita dalle coppie #75879

avt
Chiò
Cerchio
Grazie mille Galois tutto chiarissimo! emt
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Os