Divisibilità di un polinomio a coefficienti naturali per induzione

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Divisibilità di un polinomio a coefficienti naturali per induzione #74618

avt
gcappellotto47
Cerchio
Salve, devo dimostrare per induzione che un certo polinomio a coefficienti naturali è divisibile per 3, nella fattispecie che \forall n \in \mathbb{N}

n^3+3n^2+5n è divisibile per 3.


Ho fatto così:

\frac{n^3+3n^2+5n}{3}=x\ \Rightarrow\ n^3+3n^2+5n=3x

Passo base: con n=1 si ha 9 che è divisibile per 3.

Passo induttivo:

(n+1)^3+3(n+1)^2+5(n+1)=3x

sviluppando i calcoli si ha:

(n^3+3n^2+5n)+(3n^2+9n+9)=3x

n^3+3n^2+5n=3x-3(n^2+3n+3)

A questo punto posso concludere che la relazione è vera? Oppure ho sbagliato qualcosa?

Grazie e saluti
Giovanni C.
 
 

Divisibilità di un polinomio a coefficienti naturali per induzione #74634

avt
Omega
Amministratore
Ciao GCappellotto emt

leggendoti mi è venuto un dubbio: se ciò che ho interpretato coincide con ciò che intendi, allora la dimostrazione è corretta. Per sicurezza, vediamo qual è tale dubbio.

Esso riguarda la scrittura

\frac{n^3+3n^2+5n}{3}=x\ \Rightarrow\ n^3+3n^2+5n=3x

se in tale frangente stai considerando un'equazione, la dimostrazione non è corretta.

Se invece stai semplicemente assegnando un nome alla quantità n^3+3n^2+5n, la dimostrazione è corretta. In questo caso dovremmo scrivere

n^3+3n^2+5n=:3x

dove il simbolo =: (a volte := ) indica che si tratta di una definizione. La posizione dei due punti indica cosa è definito, il membro opposto indica come è definito. emt

A scanso di equivoci vediamo di ripercorrere la dimostrazione. Applichiamo il principio di induzione per dimostrare che

n^3+3n^2+5n

è divisibile per 3 per ogni n\in\mathbb{N}.

Passo base: se n=1 la tesi è ovviamente vera, perché (1)^3+3(1)^2+5(1)=9 è divisibile per 3.

Passo induttivo: suppongo che n^3+3n^2+5n sia divisibile per 3 e dimostro che tale ipotesi implica la tesi per (n+1).

A tal propositi considero

(n+1)^3+3(n+1)^2+5(n+1)

sviluppo i conti e in particolare il cubo del binomio ed il quadrato del binomio. Ottengo

n^3+6n^2+14n+9

Ora il trucco consiste nello scrivere il precedente polinomio a coefficienti naturali come somma tra n^3+3n^2+5n e una quantità rimanente

n^3+6n^2+14n+9=(n^3+3n^2+5n)+(3n^2+9n+9)

e ci siamo. emt Il primo addendo è divisibile per 3 per ipotesi induttiva; il secondo è pure divisibile per 3 e per vederlo basta scriverlo nella forma

3(n^2+3n+3)

Dunque abbiamo una somma tra due numeri divisibili per 3, che è evidentemente divisibile per 3. Il passo induttivo è dimostrato, dunque per induzione l'asserto è dimostrato.


NB: è un'ovvietà, ma vale la pena di sottolinearla: è divisibile per 3 perché è nella forma

3\cdot \mbox{ un numero intero}

quindi soddisfa paro-paro la definizione di intero divisibile per 3. emt
Ringraziano: CarFaby, gcappellotto47
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Os